Fie triunghiul ABC, si AA', BB', CC', trei ceviene concurente in P. Sa se arate ca simetricele dreptelor AA', BB', CC' fata de bisectoarele interioare le triunghiului ABC sunt concurente.

Problema o gasiti rezolvata in cartea Analogii triunghi-tetraedru , Mihai Miculita si Dan

Branzei, la paginile 115-116.

Nu este nevoie de nici o trimitere.
Sa luam o situatie simpla.

Plecam cu triunghiul ABC.
Ducem o ceviana AA', punctul A' fiind pe latura BC.
Aceasta ceviana imparte unghiul din A in doua parti, o sa le notez aici A1 si A2.
Dorim sa scriem atunci raportul

A'B : A'C

folosind cele doua unghiuri A1 si A2.
De fapt foarte repede ne vine idea sa lucram cu

( A'B:AA' ) : ( A'C:AA' ) .

Aplicam atunci teorema sinusurilor in cele doua triunghiuri AA'B si AA'C...

Trecerea de la AA' la simetrica fata de bisectoare inverseaza unghiurile A1 si A2 intre ele. Daca obtinem o rescriere a teoremei lui Ceva care foloseste unghiurile A1, A2 si corespunzator (in notatie) B1, B2 si C1, C2...

Mulțumesc frumos!