Buna ziua! Mi-ati putea arata va rog cum arata o demonstratie riguroasa pentru lim (3/2^n+1)=0 si lim (sqrt(n+2)-sqrt(n+1))=0 cand n tinde spre infinit? Sunt la inceput si incerc sa ma obisnuiesc cu termenii.

1.

Deoarece n tinde la infinit, putem sa inlocuim n cu infinit in expresia careia i se cere limita (in cazul de fata

fiind aceasta expresie).
Dupa inlocuire, expresia 2^n de la numitor va rezulta in 2 la puterea infinit, care este egala cu infinit.
Asta inseamna ca expresia careia i se cere limita ar arata in felul urmator:

Acum, cand impartim un anume numar la infinit (de precizat ca acel numar nu are voie sa fie infinit), va rezulta zero.
Deci

, iar expresia noastra va fi egala cu 0+1=1.
Deoarece expresia careia i se cere limita acum nu mai depinde de n si este egala cu 1, rezulta ca limita ceruta este egala cu 1.

Vad ca limitele le-ai pus egale cu zero, deci banuiesc ca prima limita ar arata in felul urmator (in ciuda faptului ca lipseste o paranteza de la numitor):

Dupa inlocuirea lui n cu infinit rezulta

.
Deci expresia este egala cu zero, fiind independenta de n, ceea ce inseamna ca limita este egala cu zero.

Îmi cer scuze, era 3/(2^n+1). Multumesc frumos!

2.

O inlocuire directa a lui n cu infinit rezulta

Deci limita ceruta este egala cu zero.

In rezolvare am folosit

pentru a modifica expresia ceruta astfel incat, inlocuind n cu infinit, sa nu mai avem caz de nedeterminare.