Salutare,am probleme similare cu acestea pentru examenul de maine.

1)In spatiul vectorial (R^3,R) se considera vecotrul x=(3,-1)^T si baza B={b1=(0,2)^T si b2=(-1,1)^T}.Folosind pivotarea sa se determine xb= vectorul coordonatelor lui x in baza B.

2)In (R^3,R) se considera subspatiul X={(a,b,c)^T apartin R^3/a - 2b - c=0}
si vectorul v ={1,2-1)^T
Sa se determine proiectia ortogonala a lui v pe X.

3)Utilizand forma canonica Jordan a matricei sistemului,sa se determine solutia generala a sistemului de ecuatii diferentiale liniare

y'(x)=y(x)+z(x)
z'(x)=-y(x)+ 3z(x) unde x apartine R.


Daca stie cineva sa rezolve,mi-ar fi de mare folos..Va multumesc.

[Citat] 1) In spatiul vectorial (R^2,R) se considera vecotrul x = (3,-1)^T si baza B = { b1=(0,2)^T si b2=(-1,1)^T }. Folosind pivotarea sa se determine xb= vectorul coordonatelor lui x in baza B.

(E destul de greu sa se gaseasca timp liber duminica...)

(Cumva problemele care se propun in examene sunt din secole depasite deja de secole trecute.)

Cu calculatorul...


sage: var( 's,t' );
....: solve( [0*s-t==3, 2*s+t==-1], [s,t] )
....:
(s, t)
[[s == 1, t == -3]]


# verificare

sage: 1*vector( [0,2] ) - 3*vector( [-1,1] )
(3, -1)

[Citat] (2) In (R^3,R) se considera subspatiul X = { (a,b,c)^T apartine R^3 | a - 2b - c = 0 } si vectorul v = (1,2,-1)^T Sa se determine proiectia ortogonala a lui v pe X.

Planul X are un vector normal, perpendicular pe plan,
n = (1, -2, -1)
ecuatia lui ne duce imediat la a-l scrie.
(Nu este normat, ne ajunge ca e normal.)

Atunci v se sparge in doua componente, una din X, una din dreapta IR.n de directie n, deci putem scrie

v = a.n + w

unde a este un scalar, a.n este din IR.n,
w din X.

Luam produsul scalar cu n in relatia de mai sus. Dam de
(v,n) = a(n,n) + (w,n) . Deci
(v,n) = a(n,n) + 0 .

De aici se calculeaza repede a-ul.
(v,n) = ( (1, 2, -1), (1, -2, -1) ) = 1-4+1 = -2,
(n,n) = ( (1, 2, -1), (1, 2, -1) ) = 1+4+1 = 6,

de aici dam de a = -2/6 = -1/3, dupa care mai avem de calculat vectorul
w = v-a.n = ...

[Citat]

Eu tot incerc sa duc oamenii sa foloseasca (macar din cand in cand) calculatorul in matematica, astfel ramane mai mult timp pentru intelegere si cautare (cercetare). Mai rau, calculatorul chiar da rezultatele in forma structurala, obligand astfel omul sa gandeasca structural.