Buna ziua! Daca

, care este maximul expresiei

, cu

, unde n este un numar natural nenul fixat. Va multumesc! (stiu raspunsul cand n e par, nu ma descurc la n impar; poate exista totusi o formula generala care inglobeaza ambele cazuri)

Multumesc pentru raspuns! Exact sub aceeasi denumire cunosteam si eu inegalitatea, iar maximul indicat in link este cel pe care il stiam si eu pt n par (valoare ce poate fi atinsa). Ce se intampla totusi daca numarul variabilelor e impar (caz in care

nu mai poate fi atinsa)? Mai are un maxim expresia?

[Citat] Buna ziua! Daca , care este maximul expresiei , cu , unde n este un numar natural nenul fixat. Va multumesc! (stiu raspunsul cand n e par, nu ma descurc la n impar; poate exista totusi o formula generala care inglobeaza ambele cazuri)

(Daca stiti raspunsul, atunci comunicati-l. Cei ce doresc sa inteleaga cadrul au un start mai usor. In orice caz, partea de ghicitoare din problema este trecuta imediat si se poate trece la intrebarea propriu-zisa.)

Cand n este 3, ca sa obtinem un maxim si nu un minim, avem nevoie ca variabilele sa nu fie toate egale intre ele, deci avem nevoie atat de un a, cat si de un b. Deci trebuie comparate expresiile

si

, dar se constata ca ambele furnizeaza un maxim intrucat sunt egale (cu

). Ca sa vedem monotonia functiei pe care ati indicat-o (a,b si n sunt fixate de la inceput, deci functia este de o singura variabila, de y pozitiv), vom face apel la derivata ei. Aceasta este

, deci functia e crescatoare pe

si descrescatoare pe

(monotoniile sunt chiar stricte intrucat avem un singur punct in care se anuleaza derivata, anume n/2). Asta ne aduce la concluzia ca atunci cand n este par, maximul cautat se obtine cand n/2 variabile sunt a, iar celelalte n/2 sunt b, iar cand n e impar trebuie sa comparam din nou doua expresii:

, care sunt (iarasi) egale. Se poate da atunci si formula generala pe care o cautam, caci partea intreaga a lui n/2 se exprima fie ca n/2, fie ca (n-1)/2.
Multumesc pentru raspuns! Mi-ati dat ocazia sa vad taria teoremei lui Weierstrass la un nivel mai inalt (fiind la liceu, ca o functie continua definita pe un compact e marginita si isi atinge marginile nu s-a vazut decat in varianta "unidimensionala", deci pe un interval inchis si marginit din

; aici as vrea sa mai adaug un lucru la care m-am gandit cand am incercat sa gasesc eu solutia, anume ca daca as fixa n-1 dintre variabile, as ramane cu o funtie de o singura variabila care categoric are un maxim pe [a,b], tot din Weierstrass; ce se intampla atunci cu multimea maximelor, are ea un maxim? Daca da, cat e el? Si am ajuns in fundatura poate si pentru ca pot fixa acele n-1 variabile intr-o infinitate (nenumarabila) de moduri). V-as intreba, insa, daca acel sistem de ecuatii pe care l-ati scris este modul de a aplica un "Fermat generalizat" (nu stiu daca isi au rostul ghilimele, posibil sa existe teorema cu numele si in n dimensiuni, dumneavoastra veti confirma), deci cu derivate partiale (=rationam ca si cum avem o singura variabila, restul le privim drept constante)? (derivata unui pct de extrem local, interior intervalului, este 0 = varianta de pe

). Sau totul porneste de la teoria multiplicatorilor Lagrange (care,
si tin sa va contrazic aici, nu se (mai) fac la liceu (la noi) )? Multumesc!

Recunosc, sunt departe de casa...
Si cu numele teoremelor nu stau bine de loc, din fericire sunt corectat mereu pe pagina de fata, lucru pentru care multumesc de fiecare data.

In ceea ce priveste recunoasterea extremelor locale ale unei functii f de clasa C² care este definita pe "ceva deschis" D din IR la puterea n (i.e. pe o multime care in jurul oricarui punct contine o bila solida in jurul lui (de raza>0)), f luând valori in IR (ca sa putem vorbi despre minim si maxim...) lucrurile stau la nivel de facultate astfel:

- o conditie *necesara* de extrem in a din D este anularea derivatei f' a lui f calculata in punctul a. Se scrie f'(a). Este un vector format din derivatele partiale ale lui f fata de fiecare din cele n coordonate ale lui IR la puterea n. Aceasta conditie rezulta din cele cunoscute la liceu, deoarece daca f are un extrem local in a, cu atat mai mult restrictiile lui f la fiecare din dreptele prin a paralele cu cate una din axele de coordonate au cate un extrem local in a.

Este tot ce am folosit mai sus, sistemul scris a fost obtinut derivand dupa fiecare din variabile.

Mai departe intra in discutie numai punctele a cu f'(a) = 0 . (Egalitate de vectori cu n componente.)

- o conditie *suficienta* (dar nu neaparat necesara) este "ca si la scoala" legata de "a doua derivata", f"(a). Aceasta este o matrice. (Se ia f' si se deriveaza pe componente. Dam de o matrice...) Daca aceasta matrice este (strict) pozitiv definita, i.e. daca forma patrat(ic)a data de ea se anuleaza doar in zero, in rest fiind >0, atunci avem un minim local. Daca este (strict) negativ definita, ... maxim local. Unii scriu formal f"(a) > 0 daca toate valorile proprii ale lui f"(a) sunt >0. (Desi in sensul teoriei operatorilor trebuie scris mai mare sau egal..) Corespunzator pentru f"(a) < 0.

- o conditie *necesara* este ca matricea f"(a) sa fie semidefinita.

Motivul usor de inteles pentru aceste teoreme este polinomul Taylor, existenta lui locala in jurul lui a si faptul ca el aproximeaza "suficient de bine" functia local.

Faptul ca o functie continua f definita pe J = [a,b] x [a,b] x ... x [a,b] cu valori reale are un maxim se poate demonstra la nivel de liceu.

Insa trebuie definit mai intâi conceptul de functie continua.
Este aici convenabil (si in general echivalent) cu faptul ca f duce siruri convergente in siruri convergente, si punctele de convergenta se corespund la afacerea asta.

La noi.
In primul rand exista sup f, supremul multimii { f(x) : x se plimba in J } .
Aceasta valoare poate fi si infinita. Lucru pe care putem sa il infirmam astfel.

Exista un sir f(x(n)) care converge la sup f, prin definitie.
Ne uitam la prima componenta din termenii sirului x(n).
Aceasta prima componenta determina un sir x1(n).
Este un sir inclus in [a,b].
La nivel de liceu cred ca se stie ca are un subsir convergent. La un x1*, sa zicem. Trecand la subsirul corespunzator putem atunci presupune ca de fapt x(n) are proprietatea ca prima lui component converge la x1* din [a,b] .

(Limita este tot in [a,b]. Lucru esential.)

Trecând mai departe la un subsir, putem presupune ca si a doua componenta din x(n), x2(n), este un sir convergent. La un x2*, sa zicem.

Si asa mai departe.

Atunci supremumul este f(x1*,x2*,...) deoarece f este continua si duce siruri convergente in siruri convergente, limitele lor fiind in corespondenta prin f.

(Aici nu ne uitam pe fiecare "fibra", ca in expunerea de mai sus, ci luam sup f, apoi ne uitam la "fibrele" ce corespund lui x1*, x2*, ... In orice caz, asa ne ducem direct la tel.)

Tot asa mai departe!
Este demn de apreciat efortul de a citi si invata, de a duce mai departe gandurile intr-o situatie (matematica) noua si punerea de intrebari in structura ceva mai generala in care este repusa problema!

P.S. Daca a=b inca avem un maxim. (Dar nu mai avem de lucru.)