Determinați a număr real pentru care expresia E=2a(x^2+y^2)+4axy-y^2-2xy-2x+1 este pozitiva pentru orice x si y numere reale

[Citat] Determinați a număr real pentru care expresia (scrisa mai putin inghesuit) E = 2a(x^2+y^2) + 4axy - y^2 - 2xy - 2x + 1 este pozitiva pentru orice x si y numere reale.

Solutia asistata de calculator:

sage: var( 'a,x,y' );
sage: E(x,y) = 2*a*(x^2+y^2) + 4*a*x*y - y^2 - 2*x*y - 2*x + 1
sage: solve( [ diff( E, x ) == 0, diff( E, y ) == 0 ], [x,y] )
[[x == 1, y == -1]]
sage: E( 1, -1 )
0
sage: E.hessian()( 1, -1 )
[ 4*a 4*a - 2]
[4*a - 2 4*a - 2]
sage: E.hessian()( 1, -1 ).det().factor()
8*a - 4
sage: E.hessian()( 1, -1 ).trace()
8*a - 2


Avand in vedere ca numarul 0 nu este pozitiv, dar E(1, -1) = 0, nu exista nici un a real cum trebuia noi sa determinam. (Unul sau mai multe sau toate, oricum nu mai conteaza. Acum.)

In orice caz, punctul (1, -1) poate fi minim global.
De exemplu e suficient sa asiguram ca hessiana lui E este pozitiv definita in acest punct. Pentru asta trebuie sa avem a > 2.

Ce se intampla cu a=2 ?

Pentru a=2, E(1,-1)=0 si deci expresia nu este pozitiva pentru orice x si y numere reale.