| Autor |
Mesaj |
|
|
Fie x1,x2,...,xn numere reale si a>0. Fie functia f(x)=(x-x1)(x-x2)...(x-xn). Demonstrati ca ecuatia f(x+a*i)-f(x-a*i)=0 are toate rădăcinile reale.
|
|
|
(eroare: eq.1/57339)[/equation]
[equation]Daca $f$ este de grad unu nu avem nimic de demonstrat.
(Nu avem radacini. Deci nu avem radacini nereale.)
Pentru $f$ de grad $n\ge 2$ diferenta $f(x+ai)-f(x-ai)$ este
un polinom de grad $n-1$ in $x$ si putem factoriza $ai$ pentru
a da de un polinom cu coeficienti reali in variabilele $a$ si $x$.
Presupunem prin absurd, ca acest polinom are o radacina complexa, nereala
$s_0+ib$. Atunci si valoarea conjugata este radacina a diferentei.
Fara a restrange generalitatea, $b>0$.
Si dupa ce schimbam $f$ cu polinomul ``translatat'' putem presupune ca $s_0=0$.
(Ma ajuta sa scriu mai usor.)
De aici deducem:
$$
f(0+(a+b)i) =
f(0+(a-b)i) =
f(0+(-a+b)i) =
f(0+(-a-b)i) \ .
$$%
Avem deci pe axa imaginara din planul complex patru puncte $(\pm a\pm b)i$,
care sunt radacini. Sa punem $\pma\pmb$ in ordine, dam de patru valori $-d<-c\le 0\le c< d$.
Ne uitam acuma la functia de o variabila reala $u$,
$$
u\to \frac 1i(\ f(0+ui)-f(0-ui)\ )\in\R\ .
$$
Aceasta functie ia aceleasi valori in $c,d$, deci exista un punct intermediar $\u^*$ in intervalul $(c,d)$ in care derivata se anuleaza.
Obtinem prea multe radacini complexe, $0\pm u^*i$ si cate una intre radacinile lui $f$ pentru derivata $f'$ a lui $f$. Contradictie.
---
df (gauss)
|
Access general
Conţine mesaje necitite
