Fie

o funcție periodica si neconstantă.Notăm

.
Dacă

să se arate că:
a) P este densă in R;
b) f este discontinuă in orice punct din R.

Rog a se tipari intr-un singur bloc latex, cu loc liber dupa punct si dupa virgula si cu "pentru orice" in loc de semne facute pentru un timp in care metrul patrat de carte publicata era foarte scump.
Aceeasi spatiere este bine venita si in cod.

(Partea de latex este complet nefolosibila. Caciulile le-am dat la o parte.)
(Sageata este \to cel mai simplu.)
(IR se poate tipari pe aceasta pagina simplu drept \R si analog pentru N, Z, ...)
(Sunt prea multe acolade si \left( ... \right) care fac refolosirea de text imposibila. E chiar asa de greu de folosit f(x) in loc de f\left( x\right) cu spatiere pe care un computer doar poate sa o ofere astfel?!)

[Citat]

Pentu aceasta am tiparit ceva usor citibil:


Fie $f:\R\to\R$ o functie periodica si neconstanta.
Notam
$$
P =
\Big\{\ t\in\R\ \Big| \
f( x+t ) = f(x)
\text{ pentru orice $x$ real }
\Big\}\ .
$$%
Fie
$$
P^* = P\cap ( 0,\infty )\ .
$$%
Se da: $\inf P^_+ = 0$.

\bigskip

Sa se arate ca:

(a) $P$ este densa in $\R$;

(b) $f$ este discontinua in orice punct din $\R$.

Solutia la nivel de facultate este urmatoarea:

Ne dam un sir strict descrescator ( x(n) ) de elemente pozitive din P, sir care converge la zero.

(a)
Ne dam un punct a din IR.
Vrem sa aratam ca orice bila in jurul lui a contine un punct din P.
Daca a = 0 totul e clar.
Daca a < 0 il inlocuim cu -a.
Cazul a>0 il analizam repede indeaproape. Ne dam o bila in jurul lui a, un interval centrat in a. Latimea intervalului este L > 0 - notatie. Ne uitam la elementele sirului care sunt din (0, L/2) si luam unul din ele, y.
Atunci sirul y, 2y, 3y ... are cel putin un element in bila pe care ne-am dat-o.

Am terminat.

(b)
f nu este constanta, ia deci cel putin doua valori diferite.
Gasim astfel argumente x1, x2 ale functiei astfel incat numerele

a1 = f( x1 ) si
a2 = f( x2 )

difera.
Este clar ca orice vecinatate a unui punct "a" fixat
- in care vrem sa demonstram discontinuitatea lui f -
contine o infinitate de puncte din x1 + P = { x1 + t : t in P } si
contine o infinitate de puncte din x2 + P = { x2 + t : t in P } .

Deci am demonstrat astfel discontinuitatea lui f in "a".