Fie N numarul al carui patrat are ultimele 4 cifre egale. Voi arata ca aceste cifre sunt 0. In primul rand
. Patratul unui numar de doua cifre are cel mult 4 cifre si acestea nu pot fi toate egale.
Atunci
si
. Ultimele doua cifre vor fi ultimele doua cifre ale lui
. Daca n este o cifra nenula, atunci patratul lui n este format din doua cifre diferite. Consideram cazul cand n este format din doua cifre, ultima cifra fiind nenula. Exista trei numere ale caror patrate au ultimele doua cifre egale: 12, 38 si 62.
Daca
atunci
. Notam cu
ultima cifra a lui m. Ar trebui ca
ceea ce nu se poate.
Daca
atunci
. Ar trebui ca
. Avem urmatoarele cazuri:
rezulta
, deci
si ar trebui ca
ceea ce nu se poate.
rezulta
, deci
si ar trebui ca
ceea ce nu se poate.
Daca
atunci
si ar trebui ca
ceea ce nu se poate.
Atunci ultima cifra a lui n trebuie sa fie 0, deci ultimele patru cifre ale lui
sunt 0.
Probabil ca exista o solutie mai simpla.