Bine ai venit guest
 
User:
Pass:

[Creare cont]
[Am uitat parola]
iBac = materialul ULTRACOMPLET de pregătire pentru bac la mate. Dacă vrei poţi.
Forum pro-didactica.ro  [Căutare în forum]

Forum » Problema săptămânii » LA MULTI ANI si ...Un patrat perfect...!
[Subiect nou]   [Răspunde]
[1]
Autor Mesaj
petrebatranetu
Grup: moderator
Mesaje: 3161
04 Jan 2007, 03:35

[Trimite mesaj privat]

LA MULTI ANI si ...Un patrat perfect...!    [Editează]  [Citează] 

Un patrat perfect are ultimele patru cifre egale .Care sunt?


---
Doamne ajuta...
Petre
reddog
Grup: membru
Mesaje: 200
03 Jan 2007, 01:46

[Trimite mesaj privat]


Fie N numarul al carui patrat are ultimele 4 cifre egale. Voi arata ca aceste cifre sunt 0. In primul rand
. Patratul unui numar de doua cifre are cel mult 4 cifre si acestea nu pot fi toate egale.
Atunci
si
. Ultimele doua cifre vor fi ultimele doua cifre ale lui
. Daca n este o cifra nenula, atunci patratul lui n este format din doua cifre diferite. Consideram cazul cand n este format din doua cifre, ultima cifra fiind nenula. Exista trei numere ale caror patrate au ultimele doua cifre egale: 12, 38 si 62.
Daca
atunci
. Notam cu
ultima cifra a lui m. Ar trebui ca
ceea ce nu se poate.
Daca
atunci
. Ar trebui ca
. Avem urmatoarele cazuri:
rezulta
, deci
si ar trebui ca
ceea ce nu se poate.
rezulta
, deci
si ar trebui ca
ceea ce nu se poate.
Daca
atunci
si ar trebui ca
ceea ce nu se poate.
Atunci ultima cifra a lui n trebuie sa fie 0, deci ultimele patru cifre ale lui
sunt 0.

Probabil ca exista o solutie mai simpla.


---
red_dog
Euclid
Grup: Administrator
Mesaje: 2659
03 Jan 2007, 09:29

[Trimite mesaj privat]


reddog a omis faptul ca
. Iata o alta solutie:

In primul rand, ultima cifra a unui patrat perfect este in multimea:

Vom elimina pe rand toate cifrele nenule. Fie
un numar ce se termina cu
unde
este una din cifrele de mai sus.

  • Cazul
    . Atunci
    deci nu poate fi patrat perfect
  • Cazul
    . Atunci
    se divide cu 5 dar nu se divide cu 25, deci nu poate fi patrat perfect
  • Cazul
    . Atunci
    se divide cu 2 dar nu se divide cu 4
  • Cazul
    . Daca prin absurd
    ar fi patrat perfect, atunci, deoarece se divide cu 4, si numarul
    ar fi patrat perfect. Pe de alta parte este usor de vazut ca
    , contradictie !

Asadar raspunsul la intrebare este
. Mentionam ca exista patrate perfecte ce se termina cu cifrele 1444, 3444, 5444, 7444 sau 9444 !


---
Euclid
petrebatranetu
Grup: moderator
Mesaje: 3161
04 Jan 2007, 00:20

[Trimite mesaj privat]


[Citat]
reddog a omis faptul ca
. Iata o alta solutie:

In primul rand, ultima cifra a unui patrat perfect este in multimea:

Vom elimina pe rand toate cifrele nenule. Fie
un numar ce se termina cu
unde
este una din cifrele de mai sus.

  • Cazul
    . Atunci
    deci nu poate fi patrat perfect
  • Cazul
    . Atunci
    se divide cu 5 dar nu se divide cu 25, deci nu poate fi patrat perfect
  • Cazul
    . Atunci
    se divide cu 2 dar nu se divide cu 4
  • Cazul
    . Daca prin absurd
    ar fi patrat perfect, atunci, deoarece se divide cu 4, si numarul
    ar fi patrat perfect. Pe de alta parte este usor de vazut ca
    , contradictie !

Asadar raspunsul la intrebare este
. Mentionam ca exista patrate perfecte ce se termina cu cifrele 1444, 3444, 5444, 7444 sau 9444 !



---
Doamne ajuta...
Petre
Natasa
Grup: membru
Mesaje: 302
04 Jan 2007, 03:35

[Trimite mesaj privat]


Felicitari!

Patratele perfecte pentru care ultimele patru cifre sunt reprezentate de 1444, 3444, 5444, 7444 sau 9444:

Intre 1 si 1000000 avem: 38^2 = 1444; 462^2 = 213444; 538^2 = 289444
962^2 = 925444.

Peste: 1038^2 = 1077444; 2038^2= 4153444; ...; 1538^2 = 2365444;...;

3038^2=9229444; ...; 1462^=2137444; 1962^3849444; 2462^2= 6061444;

3462^2=11985444; 4462^2= 19909444; ...; 9462^2=89529444; 19462^2=378769444;...

Ultimele doua cifre ale radacinilor patrate sunt exprimate de 38 sau 62. Atat!


Natasa





---
*Un matematician care nu are ceva de poet, nu va fi niciodata un perfect matematician.* (K.Weierstrass)
[1]


Legendă:  Access general  Conţine mesaje necitite  47552 membri, 58575 mesaje.
© 2007, 2008, 2009, 2010 Pro-Didactica.ρ