Pornind de la inegalitatea e^x > 1+x, pentru orice x real, deduceti urmatoarea inegalitate: (e^x - 1)/x > 1 + x/2 , unde x pozitiv.

[Citat] Pornind de la inegalitatea e^x > 1+x, pentru orice x real, deduceti urmatoarea inegalitate: (e^x - 1)/x > 1 + x/2 , unde x pozitiv.

Scriu si eu atunci solutie ASCII.
Inegalitatea de demonstrat este echivalenta pentru x>0 cu:

e^x > 1 + x + x²/2 .

Consideram "functia diferenta" ca functie de x din intervalul J = [ 0, +oo ) .
f(x) = e^x - ( 1 + x + x²/2 ) .

Care este derivata acestei functii?
Ce se poate spune despre semnul ei?
Este f monotona pe J?

Voiam o alta soluție. Din păcate,am uitat sa specific in enunțul problemei. Cautam o rezolvare utilizând ceva legat de medii, am rezolvat. Pe baza inegalității date aplicam in fiecare membru media integralei si obținem tocmai ce cautam.

Aceasta inegalitate este un prim pas in demonstrarea dezvoltării in serie a funcției e^x.

[Citat] Voiam o alta soluție. Din păcate,am uitat sa specific in enunțul problemei. Cautam o rezolvare utilizând ceva legat de medii, am rezolvat. Pe baza inegalității date aplicam in fiecare membru media integralei si obținem tocmai ce cautam.

Nu este clara solutia.
Incercati sa scrieti explicit solutia, altfel nu va puteti da seama ce faceti.
In plus:

- Daca doriti o solutie *folosind neaparat ceva* nu sunteti in cadrul matematic. (Daca un naufragiat este salvat de la inec si ajunge pe o insula izolata din Pacific, primul lucru pe care il face este desigur... sa se planga ca e pe o insula asa de izolata. Desigur ca dorea sa ajunga pe continent, dar cel ce l-a salvat nu a tinut cont de acest lucru evident.)

- Este de preferat sa se dea o solutie care foloseste derivate. Nu o integrare. O solutie care foloseste integrale (dar nu stim ale carei functii deocamdata) vine mai tarziu in ordinea in care scoala sau matematica introduce conceptele. Scrieti nivelul la care va aflati, daca doriti o solutie scurtissima care tine cont de nivel. Chiar si in acest caz, solutia de preferat este cea ce analizeaza monotonia unei functii folosind derivata. Daca e sa invat pe cineva cum rezolva inegalitati folosind analiza matematica asta este ce il invat. Nu il invat sa se scarpine pe la spate incercand sa produca inegalitatea folosind o teorema de medie.

- Dezvoltarea Taylor (in polinom de grad dat sau de serie data) se obtine teoretic pentru toate functiile. Este un rezultat, o teorema. Este inutil si chinuit sa facem rost de o astfel de dezvoltare pentru functia exp folosind metodele de mai sus. (Doar ca sa ne aratam noi noua ca putem face lucrurile si in mod pedestrian.) In plus, mai sus avem de rezolvat o inegalitate, nu avem de-a face cu o aproximare.

Avem e^t > t+1, pentru orice t real strict pozitiv. Ambele functii(cea din membrul stang si cea din membrul drept) sunt restrictii ale unor functii elementare, deci continue. Cum orice functie continua este integrabila rezulta ca si aceste functii sunt integrabile. Aplicam media fiecarei integrale(pe intervalul [0,x]) si obtinem inegalitatea pe care o aveam de demonstrat.
Apoi ne folosim de aceasta inegalitate obtinuta pentru a demonstra ca e^{x} = 1+x+ \frac{ x^{2} }{2!} + \frac{ x^{3} }{3!} +...

[Citat] Aplicam media fiecarei integrale(pe intervalul [0,x]) si obtinem inegalitatea pe care o aveam de demonstrat.

In care punct obtinem ce inegalitate?
Ce este "media fiecarei integrale"?
Daca "integram o inegalitate" obtinem tot o inegalitate? (De unde pana unde integram?)

[Citat] Apoi ne folosim de aceasta inegalitate obtinuta pentru a demonstra ca

(In mod normal relatia de mai sus se considera definitia functiei exponentiale. Exceptand cazul in care ne aflam in situatia "intermediara" in care stim o droaie de analiza, dar nu chiar atata analiza matematica.)

Inca nu este clar cum facem rost dintr-o inegalitate care este asigurata pentru x>0 de o aproximare pentru functia exp. Desigur ca ne putem folosi de aceasta inegalitate (adevarata) pentru a demonstra ceva adevarat tot asa cum ne putem folosi de o constructie cu rigla si compasul a tangentei la un cerc pentru a demonstra ceva adevarat.

https://docs.google.com/file/d/0B45juCGJ7U7PZDYyYjQwZmEtNmM2Yi00MGM2LTk5YmItODllYzljZDJmZGU0/edit?hl=en. A se vedea capitolul Newton's exponential series

[Citat] https://docs.google.com/file/d/0B45juCGJ7U7PZDYyYjQwZmEtNmM2Yi00MGM2LTk5YmItODllYzljZDJmZGU0/edit?hl=en. A se vedea capitolul Newton's exponential series

Desigur ca nu voi intra niciodata pe acest link.
Nu inteleg despre ce vorbim.

Link-ul este către cartea 100 Great Problems of Elementary Mathematics- Heinrich Dorrie