fie ecuatia :

m apartine lui R , ecuatia are toate radacinile egale daca m=??

Cum trebuie sa procedez cand am un polinom de grad mai mare ca 2 si intalnesc genul asta de cerinte referitor la radacini sa fie reale/imaginare/intregi

[Citat] fie ecuatia : 2x^4 + x^3 + mx^2 + x + 2 = 0 , m apartine lui R , ecuatia are toate radacinile egale daca m=?? Cum trebuie sa procedez cand am un polinom de grad mai mare ca 2 si intalnesc genul asta de cerinte referitor la radacini sa fie reale/imaginare/intregi

Fixam m-ul.
Fie f functia polinomiala (de x) data de partea stanga a ecuatiei.
Daca f are o radacina dubla "a", atunci f(a) = f'(a) = 0 .
Daca f are o radacina tripla "a", atunci f(a) = f'(a) = f''(a) = 0 .
Daca f are o radacina de ordin patru "a", atunci f(a) = f'(a) = f''(a) = f'''(a) = 0 .

Probabil ca cel mai usor este sa derivam de trei ori.
Dam de radacina "a" a unei ecuatii de gradul unu *fara parametru* .
Vedem pentru ce parametru m acest "a" este radacina (simpla) a lui f.
Verificam (da)ca avem chiar o radacina de ordin patru.

Nu avem.
Care este de fapt enuntul exact al problemei si in ce cadru a aparut?
"Toate radacinile" inseamna cumva "toate cele patru radacini complexe" cumva?

toate radacinle egale sau toate radacile reale?

daca toate radacinile reale este ecuatie reciproca x diferit 0
impartim cu x^2 , notam x+1/x=y =>x^2+1/x^2=y^2 -2
se obtine 2y^2+y+m-4=0 rad y_1 si y_2
rezolvarea ec in x revine la rezolvarea ec x^2-y_1x+1=0 si x^2-y_2x+1=0
conditii D_1=y_1-4>0 si D_2=y_2-4>0 (si egal)
y_1,Y-2 apatin (-inf,-2] U[2,+inf)
pentru functia f(y)=y^2+y +m-4 se pun conditiile
Delta>0, af(-2)<0 si af(2)<0
rezolvi se obtine m apartine (-inf, 6]

[Citat] toate radacinle egale sau toate radacile reale?

Probabil "reale", că dacă cerința ar fi cu "egale", prima relație Viete ar termina problema.

Bine, daca cerem ca "toate radacinile reale" sa fie egale, atunci ce facem in cazul in care *nu avem radacini reale* ?
Din punctul de vedere al logicii matematice si cazul in care nu avem radacini reale satisface proprietatea "toate radacinile reale sunt egale *intre ele*".
(A fi egal - are nevoie de completare. Cu cine. Cei ce obiecteaza ca nu stiu atunci poate si diferenta dintre un crocodil.)

(De asta intreb si eu care este sursa. Si imi doresc de asemenea enuntul exact.)

Pe de alta parte presupun ca problema - dincolo de cea cu logica de mai sus - vrea un "artificiu simplu" de forma:

Daca "a" este o radacina (reala) a ecuatiei de mai sus, atunci si "1/a" este una.
Egalitatea "a=1/a" conduce la a=1 sau la a=-1.
Ramane sa inlocuim.

Suntem condusi la polinoamele:

sage: factor( 2*x^4 + x^3 - 2*x^2 + x + 2 )
(2*x^2 - 3*x + 2)*(x + 1)^2

sage: factor( 2*x^4 + x^3 - 6*x^2 + x + 2 )
(2*x + 1)*(x + 2)*(x - 1)^2

Din nou avem mai mult de discutat "pe marginea si pe fondul enuntului" decat despre solutie.

Ecuatia sa aiba toate radacinile reale atat doar

[Citat] Ecuatia sa aiba toate radacinile reale atat doar

In acest caz nu exista solutie.
(Deci in cazul in care toate cele patru radacini complexe sunt reale si egale intre ele.)

[Citat] rezolvarea ec in x revine la rezolvarea ec x^2-y_1x+1=0 si x^2-y_2x+1=0 conditii D_1=y_1-4>0 si D_2=y_2-4>0 (si egal) y_1,Y-2 apatin (-inf,-2] U[2,+inf) pentru functia f(y)=y^2+y +m-4 se pun conditiile Delta>0, af(-2)<0 si af(2)<0 rezolvi se obtine m apartine (-inf, 6]

Bună ziua!

Îmi puteți explica această parte din rezolvarea dumneavoastră? De ce ați ales poziționarea rădăcinilor față de 2, respectiv -2? Sper că am intuit corect; mi-au atras atenția condițiile din final. Am scris mai detaliat rezolvarea, în speranța că voi putea înțelege mai bine, dar nu am reușit. Dacă ar mai trebui să rezolv un exercițiu de această formă, aș reuși – dar nu-l înțeleg cu adevărat.
Bănuiesc că din neatenție ați scris (-inf, 6] când de fapt este (-inf, -6].

Vă mulțumesc!

[Citat] [Citat] rezolvarea ec in x revine la rezolvarea ec x^2-y_1x+1=0 si x^2-y_2x+1=0 conditii D_1=y_1-4>0 si D_2=y_2-4>0 (si egal) y_1,Y-2 apatin (-inf,-2] U[2,+inf) pentru functia f(y)=y^2+y +m-4 se pun conditiile Delta>0, af(-2)<0 si af(2)<0 rezolvi se obtine m apartine (-inf, 6] Bună ziua! Îmi puteți explica această parte din rezolvarea dumneavoastră? De ce ați ales poziționarea rădăcinilor față de 2, respectiv -2? Sper că am intuit corect; mi-au atras atenția condițiile din final. Am scris mai detaliat rezolvarea, în speranța că voi putea înțelege mai bine, dar nu am reușit. Dacă ar mai trebui să rezolv un exercițiu de această formă, aș reuși – dar nu-l înțeleg cu adevărat. Bănuiesc că din neatenție ați scris (-inf, 6] când de fapt este (-inf, -6]. Vă mulțumesc!

Daca ati redeschis discutia, este bine sa stim despre care problema este vorba.
Enuntul din postarea initiala sufera de mai multe boli.

Redactarea "solutiei" citate lasa mult de dorit. Dupa prima linie am renuntat sa mai citesc. (Nenumarate lucruri nedefinite apar aluziv, prescurtarea "ec" ar fi excelenta intr-un chat room al unui mare savant in criza de timp, un Y-2 vine probabil in loc de y_2, care la rândul lui nu stim... apatin este fie apartin, fie apatie, af( ceva ) este greu de interpretat...) Asa nu.

Prima problema este insa enuntul problemei de rezolvat.
Cu enunt mergem mai departe.

Situatia din acest post este una tipica si de luat in serios. Foarte des am întâlnit astfel de "conversatii (pseudo)matematice" in caiete de teme, notite, forumuri, youtube-uri, chiar si sali de clasa, fisiere pdf cumparabile... Aceste surse sunt o poluare pentru dezvoltarea matematica a fiecarui elev. Modul de protectie este simplu, se trece prin matematica doar cu obiecte intelese si clar definite, cu notatii simple si uzuale, comunicarea si prezentarea se fac in detaliu si in mod suplu. (Pentru ca asa raman lucrurile in memorie.)

Care este deci problema despre care vorbim?
(Ce se da si ce se cere?)

Enunțul exercițiului este: Ecuația (cea din primul mesaj al subiectului; încă nu cunosc bine LATEX) cu m aparținând mulțimii numerelor reale, are toate rădăcinile reale dacă:
A. m <= -2 și m >= 2
B. -2 < m < 2
C. m = 3
D. m <= -6
E. m > -6

Răspunsul corect este: D.

[Citat] Care este deci problema despre care vorbim? (Ce se da si ce se cere?)

Sper că am dat detaliile necesare rezolvării exercițiului.
Aveți mare dreptate cu tot ce ați spus în mesajul anterior. Cu siguranță nu ar mai exista neînțelegeri și dubii dacă fiecare ar redacta complet și corect.