Fie in planul complex punctele A,B,C de afixe a,b,c astfel incat are loc relatia

.
Aratati ca triunghiul ABC este echilateral.
Sursa: OLM Bucuresti 2013.
Am citit solutia lor oficiala, insa am niste neclaritati. Ei utilizeaza exprimarea unghiurilor cu ajutorul argumentelor afixelor varfurilor, o formula care e putin incomod de folosit, deoarece exprimarea unghiului geometric cu ajutorul afixelor depinde de pozitia figurii in plan. Mai ales ca in figura vor apare chiar doua triunghiuri.
Asta voiam sa clarific: in astfel de probleme, este ok sa plec eu cu o figura particulara si sa rationez acolo pe ea?
Unde sunt mai exact problemele:
1)Daca z e un numar complex de argument t, atunci

are argumentul 2t, dar asta "modulo 2pi", pentru ca daca argumentul initial t e mai mare ca pi, din 2t va trebuie sa scad 2pi, ca sa nu ies din [0,2pi] cu noul argument redus, nu? Ori pe figura voi avea 3 astfel de puncte/afixe , deci 3 situatii in care ar trebui sa stiu daca scad sau nu 2pi...
2) La formula pentru masura unui unghi in complex, iar depinde de pozitia figurii in plan... si atunci am voie sa rationez pe o singura figura, desenata arbitrar ?




Nu exista o solutie mai clara? Sau o redactare completa care sa trateze toate cazurile posibile?

[Citat] Sursa: OLM Bucuresti 2013. Am citit solutia lor oficiala, insa am niste neclaritati. Ei utilizeaza exprimarea unghiurilor cu ajutorul argumentelor afixelor varfurilor, o formula care e putin incomod de folosit,

... ceva trebuie sa folositi - orice folositi este pentru unul sau altul din cititori "incomod", deci aceasta nu e o obiectie obiectiva...

[Citat] deoarece exprimarea unghiului geometric cu ajutorul afixelor depinde de pozitia figurii in plan.

Cum depinde?

Fata de translatii nu depinde de exemplu.

Si daca presupuneti ca centrul cercului circumscris al triunghiului ABC este originea coordonatelor, ceea ce puteti face mai puteti inmulti /rescala cu un numar real pentru a asigura ca acest triungi are raza unu. Apoi puteti folosi chiar si rotatii. (Relatia data si cele cerute sunt "pastrate" daca facem astfel de operatii.)

Si desigur ca ceea ce scriem depinde de a,b,c...
Cu dependenta nu avem probleme insa. Din nou o latura subiectiva.

[Citat] Mai ales ca in figura vor apare chiar doua triunghiuri.

Care doua? Si chiar daca "vor apare", care este problema reala?

[Citat] Asta voiam sa clarific: in astfel de probleme, este ok sa plec eu cu o figura particulara si sa rationez acolo pe ea?

Nu se intelege ce doriti sa spuneti prin cuvintele "figura particulara".
Daca puteti arata ca va puteti *reduce* la un caz anume

[Citat] Unde sunt mai exact problemele: (1)_LASATI LO LIBER_Daca z e un numar complex de argument t, atunci are argumentul 2t, dar asta "modulo 2pi", pentru ca daca argumentul initial t e mai mare ca pi, din 2t va trebuie sa scad 2pi, ca sa nu ies din [0,2pi] cu noul argument redus, nu?

Da, asa este, atunci lucrati pur si simplu cu unghiuri modulo 2pi.
Daca va ajuta, scrieti mereu in loc de
arg(w) = s relatia
w = |w| ( cos s + i sin s ) .

[Citat] Ori pe figura voi avea 3 astfel de puncte/afixe , deci 3 situatii in care ar trebui sa stiu daca scad sau nu 2pi...

Da, lucram "modulo 2pi" atunci.

[Citat] (2) La formula pentru masura unui unghi in complex, iar depinde de pozitia figurii in plan...

Neclar, nu inteleg unde e problema.

[Citat] si atunci am voie sa rationez pe o singura figura, desenata arbitrar ?

Vedeti ca figura iese din peisaj...

[Citat] Nu exista o solutie mai clara? Sau o redactare completa care sa trateze toate cazurile posibile?

Daca ati inteles idea, puteti sa o scrieti mai mult sau mai putin estetic.
In orice caz, problema ne da ceva intr-o formula algebrica.
Trebuie sa folosim algebra atunci.

Eu va recomand sa va reduceti la cazul cu trei puncte pe cercul unitate,
luand apoi A, B, C in aceasta ordine pe cercul trigonometric, pentru a va scapa de problemele cu "mod2ulo pi" intr-un mod simplu.

Apoi calculele se fac plecand cu

a = cos s + i sin s ,
b = cos t + i sin t ,
c = cos u + i sin u ,

si daca doriti puteti lua s = 0, ca sa scapam de simetrie, dar sa avem o variabila in minus. ( Deci 0 =s < t < u < 2 pi. )
Faceti de aici calculele cum doriti.

In plus sau in alta ordine de idei, problema ne da ca o suma de trei numere complexe de acelasi modul (si fara a restrânge generalitatea, acest modul este egal cu 1...) este zero. Cum se poate intâmpla in general asa ceva?

Am obtinut
cos(s+t)+isin(s+t)+ cos(t+u)+isin(t+u)+ cos(u+s)+isin(u+s)=0.
este suma nula, de 3 nr complexe de modul 1, deci cele 3 numere "formeaza" un triunghi echilateral.
Ordinea initiala era s<t<u
si atunci s+t<u+s<t+u, nu?
Atunci avem u+s=(s+t)+2π/3 si t+u=(s+t)+4π/3
Si rezulta u=t+2π/3 si u=s+4π/3 de unde intr-adevar a,b,c formeaza un triunghi echilateral.
Este corect?
Si la inceput cum justific ca pot lua a,b,c de acelasi modul? Fac o translatie incat originea sa devina centrul cercului circumscris? Cum scriu precis?
Va multumesc.

Voi incerca sa dau o solutie care sa mearga pe sablonul de mai sus, dar care sa nu prezinte probleme legate de argumentul unui numar complex. Probabil ca nu ma incadrez in baremul lor.

Nota:
Am dat explicit o "alta" demonstratie.
Am facut de fiecare data progrese mici.
Dupa parerea mea solutia se poate da asa mai usor decat cea "construita", "artificiala" din barem, care reduce rezolvarea la rezolvarea "celeilalte probleme".