Sa se calculele punctele de extrem locale ale functiei:
f(x, y)= 5x^2 + 10y^2 - 12xy - 6x - 4y + 3
Stiu ca trebuie aa calculez derivata, dar cum? In raport cu x, in raport cu y?
Va rog mult daca ma poate ajuta careva sa rezolv exercitiul.
Va multumesc si va rog sa ma scuzati pentru redactare.

[Citat] Sa se calculele punctele de extrem locale ale functiei: f(x, y)= 5x^2 + 10y^2 - 12xy - 6x - 4y + 3 Stiu ca trebuie aa calculez derivata, dar cum? In raport cu x, in raport cu y? Va rog mult daca ma poate ajuta careva sa rezolv exercitiul. Va multumesc si va rog sa ma scuzati pentru redactare.

Fără derivate:

Evident, există un singur punct de extrem, un minim egal cu -10, obținut pentru x=3,y=2.

[Citat] Sa se calculele punctele de extrem locale ale functiei: f(x, y)= 5x^2 + 10y^2 - 12xy - 6x - 4y + 3 Stiu ca trebuie aa calculez derivata, dar cum? In raport cu x, in raport cu y? Va rog mult daca ma poate ajuta careva sa rezolv exercitiul. Va multumesc si va rog sa ma scuzati pentru redactare.

Cu derivate:
Este clar si la nivel de liceu, ca un punct de extrem local
( x0, y0 )
pentru functia f de doua variabile, x,y, cele doua din tupletul ( x, y ),
etse in particular un extrem local pentru functia de cate o variabila

x -> f( x, y0 ) si
y -> f( x0, y ) .

De aceea, *rezulta* ca intr-un punct de extrem local se anuleaza cele doua derivate partiale. La noi, ele sunt:

dupa x: 10 x - 12 y - 6
dupa y: 20 y - 12 x - 4

Sistemul asociat este:
{ 10 x - 12 y = 6
{ 12 x - 20 y = 4

Solutia sistemului este, cum ni se spune mai sus, (x0, y0) = (3,2).
"Din pacate", ma trebuie sa vedem ca avem un punct de extrem (local).
La nivel de facultatea avem si mijloacele sa verificam acest lucru.
Doar la nivel de facultate... Trebuie sa asociem matricea Hessiana (calculata in punctul (x0,y0)), sa vedem daca este definita. In cazul nostru asa este, Hessiana este

[ +10 -12 ]
[ -12 +20 ]

si este pozitiv definita. Rezulta ca punctul (3, 2) este un minim *local*.
Mai mult nu rezulta.

Am luptat asadar atat de mult si am obtinut pe jumatate doar ce s-a obtinut prin solutia de mai sus. Desigur ca aceasta este de preferat.

Uneori, astfel de probleme "cu doua solutii", dintre care solutia din curs este mai complicata, dar (mai) general aplicabila, sunt date in mod special pentru a da contur celor din curs. Aici nu stiu de fapt daca acesta este cadrul. Specificati va rog data viitoare la ce nivel sunteti si la ce nivel e data problema, in ce cadru (si pentru cine) a aparut si ce ati facut pe drum.