Fie f:R⟶R, f(x)=(x^3+5x)/(x^2+1). Să se calculeze I=integrala de la 0 la 3 din f^(−1)(t)dt, unde f^(−1) este inversa funcţiei bijective f.

Sa incercam impreuna.

Notam functia inversa cu g.
Trebuie sa integram g de la 0 la trei.
Mai intâi, care sunt valorile lui g in 0 si trei?

Cu alte cuvinte, care sunt valorile pentru de mai jos incât sa avem
f( ) = 0 respectiv
f( ) = 3
si daca notam cele doua puncte cu a si b,
f( a ) = 0
f( b ) = 3
cum arata graficul lui f (incadrat in dreptunghiul [a,b] x [0,3]) ?!

Care este legatura dintre
- integrala lui f de la a la b
si
- integrala lui g de la 0 la 3 ?

Fie f definita pe [a,b] cu valori in [c,d] . Fie g , inversa lui f , definita pe [c,d] cu valori in [a,b] . Fie f(a)=c , fie f(b)=d . Fie g(c)=a , fie g(d)=b .

Avem urmatoarea consecinta :

Integrala de la a la b din f(x) + integrala de la c la d din g(x)=bd-ac .

Scuzati-ma ca nu scriu in latex .

Multumesc!!