Problema : Demonstrati prin intermediul teoremei lui Lagrange inegalitatea :

| sin x - sin y | <= | x - y | ; x , y - numere reale

Daca m-ati putea lamuri cum pornesc in astfel de probleme , adica ce functie aleg , ce domeniu de lucru iau etc. Cred ca de aplicat teorema sunt in stare imediat ce cunosc pe ce o aplic .

[Citat] Problema : Demonstrati prin intermediul teoremei lui Lagrange inegalitatea : | sin x - sin y | <= | x - y | ; x , y - numere reale Daca m-ati putea lamuri cum pornesc in astfel de probleme , adica ce functie aleg , ce domeniu de lucru iau etc. Cred ca de aplicat teorema sunt in stare imediat ce cunosc pe ce o aplic .

Aplicati atunci teorema pentru functia sin.
Ce obtineti?

[Citat] [Citat] Problema : Demonstrati prin intermediul teoremei lui Lagrange inegalitatea : | sin x - sin y | <= | x - y | ; x , y - numere reale Daca m-ati putea lamuri cum pornesc in astfel de probleme , adica ce functie aleg , ce domeniu de lucru iau etc. Cred ca de aplicat teorema sunt in stare imediat ce cunosc pe ce o aplic . Aplicati atunci teorema pentru functia sin. Ce obtineti?

Cam cum as face :

Alegem convenabil x si y , astfel incat x < y . Atunci ce trebuie sa demonstram noi ar deveni |sin x - sin y| <= y - x .
Pentru Lagrange , fie f:[x,y]->R , f(t) = sin t .
F continua si derivabila pe interval => Exista un c , x < c < y , astfel incat
f(y) - f(x) = (y-x)f'(c) , adica sin y - sin x = ( y - x ) * cos c sau
cos c = (sin y - sin x )/( y - x ) .
Daca ne intoarcem la relatia noastra , am ales x < y , egalitatea este doar pt y = x , deci am avea :
|sin x - sin y| <= y - x | / ( y - x ) diferit de 0
|sin x - sin y|/( y - x ) <= 1
Probabil aici trebuie sa legam de cos c care este maxim 1 , insa trebuie sa explicitam modulul , unde sin e functie periodica deci depinde .
Daca |sin x - sin y| = sin y - sin x , atunci putem inlocui cu cos c <= 1 , adevar
Daca |sin x - sin y| = sin x - sin y , atunci cred ca inlocuim cu -cos c <= 1 , adevar din nou .
Deci in oricare caz am avea respectata , dar cred ca sunt departe de cum ar trebui sa arate rezolvarea .

[Citat] Problema : Demonstrati prin intermediul teoremei lui Lagrange inegalitatea : | sin x - sin y | <= | x - y | ; x , y - numere reale Daca m-ati putea lamuri cum pornesc in astfel de probleme , adica ce functie aleg , ce domeniu de lucru iau etc. Cred ca de aplicat teorema sunt in stare imediat ce cunosc pe ce o aplic .

E prea multa vorba pentru prea putin lucru:

Nota:
Rezultatul este -in esenta- important, arata ca daca putem controla prima derivata cu o constanta, atunci putem controla diferentele divizate cu aceeasi constanta.