1.Să se determine parametrul m∈Z\{2} , astfel ca rădăcinile x1 şi x2
ale ecuaţiei (m − 2)x^2 − 5x + m +1= 0 să satisfacă condiţiile: x1∈(−∞,2) si x2∈(3,5).

2.Să se determine parametrul m∈R+ din ecuaţia mx^2 + (m+1)x − 5 = 0 ,
astfel încât rădăcinile acesteia să verifice inegalităţile x1<-1, x2>1/2.

----

La #2 am incercat ceva de genu x1*x2<-1*1/2 <=> -5/m<-1/2, dar nu da un interval inclus in grile..

Am reusit pana la urma. Din Teorema lui Rolle => daca x∈(a,b) => f(a)*f(b)<0 si se creaza o ecuatie de gradul 2 in functie de m.

Pentru celalat exercitiu in care x1<-1, x2>1/2
=> f(-1)*f(1/2)>0 deci rezulta ca ia solutii inafara intervalului.

Bafta la admitere

[Citat] 1. Să se determine parametrul m ∈ Z\{2} , astfel ca rădăcinile x1 şi x2 ale ecuaţiei (m − 2)x^2 − 5x + m + 1 = 0 să satisfacă condiţiile: x1 ∈ (−∞,2) si x2 ∈ (3,5) .

Fixam un m (diferit de 2).

Fie D discriminantul ecuatiei de mai sus,
D = 5^2 - 4(m-2)(m+1) .
O prima conditie pe care o punem este D > 0 .
Ea conduce la... (dar din rezolvarea care vine vom asigura oricum solutii reale.)

Fie apoi f(m,x) = (m − 2)x^2 − 5x + m + 1 .
Conditia x2 ∈ (3,5) se rescrie intr-adevar:

f(m,3) * f(m,5) < 0 .

(Deoarece avem cel mult doua radacini.)
Rezulta (10m-32)(26m-74) < 0 . Deci m se poate plimba doar in intervalul

J = ( 74/26, 16/5 )

care este cam J = ( 2.(846153), 3.2 ) .

In particular avem de lucru doar cu valori m > 2 .
Atunci f are forma unei parabole "in U" (si nu in "U intors"), deci pentru ca prima radacina sa fie in intervalul (−∞,2) mai punem conditia f(m,2) < 0 .
Care este satisfacuta pe J.
(De asemenea discriminantul D este pozitiv pe J, stim ca avem radacini reale.)

[Citat] 2. Să se determine parametrul m∈R+ din ecuaţia mx^2 + (m+1)x − 5 = 0 , astfel încât rădăcinile acesteia să verifice inegalităţile x1<-1, x2>1/2.

Fie f(m,x) = mx^2 + (m+1)x − 5 .

Fixam un m.
Deoarece m > 0 in problema, functia x -> f(m,x) este o parabola "in U".
Inegalitatile cerute conduc echivalent la sistemul:

{ f( m, -1 ) < 0
{ f( m, 1/2 ) < 0

adica
{ -6 < 0
{ 3m/4 < 9/2

care are solutia m < 6 . Deci m se afla in (0,6) .