Exercitiu clasic: sa se rezolve ecuatia

Se trece la modul, se afla ca modulul "poate fi" doar 0 sau 1, apoi
se obtine odata z=0
si apoi

, deci radacinile de ordin 6 ale unitatii.

Ce nelamurire am eu:n-ar trebui sa verificam, la sfarsit, ca intr-adevar tot ce s-a obtinut reprezinta solutii? Ceea ce evident, nu-i greu, dar in toate rezolvarile pe care le-am vazut nu se pune problema.
Adica, nu prea pare sa se fi lucrat echivalent, s-a trecut la modul, deci s-a obtinut o consecinta, care apoi cuplata din nou cu ecuatia initiala a dat alta consecinta. Deci teoretic, solutiile nenule sunt incluse in multimea radacinilor de ordin 6 ale unitatii, dar nu-s neaparat toate, eventual poate sa nu fie chiar nicio solutie, asta teoretic, in general, la o asemenea cale de lucru bazata pe "consecinte" ale ecuatiei initiale si am putea obtine solutii "false"/straine.
Ori imi scapa mie ceva in cazul asta particular?

Odată ce am eliminat soluţia z=0, ecuaţia

este echivalentă cu ecuaţia

nu?

[Citat] Odată ce am eliminat soluţia z=0, ecuaţia este echivalentă cu ecuaţia nu?

Adica, reciproc, daca

rezulta

si apoi

O solutie completa, nu ar trebui sa includa si acest lucru? Sau rezulta automat de undeva, si nu vad eu?

[Citat] Sau rezulta automat de undeva, si nu vad eu?

Ecuaţii echivalente înseamnă că au aceleaşi soluţii. Dacă într-o ecuaţie înmulţim ambii membri cu o expresie care nu se poate anula, obţinem o ecuaţie echivalentă.

E suficient de clar?

[Citat] [Citat] Sau rezulta automat de undeva, si nu vad eu? Ecuaţii echivalente înseamnă că au aceleaşi soluţii. Dacă într-o ecuaţie înmulţim ambii membri cu o expresie care nu se poate anula, obţinem o ecuaţie echivalentă. E suficient de clar?

Nu e clar deloc. Ce spuneti dvs e ceva evident, pentru care n-as fi deschis topic. Doar ca nu e suficient aici.
Nu ai cum sa ajungi de la o ecuatie la alta doar prin inmultire cu z, fara a aplica si o trecere la modul! Chiar sunt curios ce garanteaza echivalenta. Stiu ca asta inseamna ecuatii echivalente, faptul ca au acelieasi solutii. Dar rationamentul aplicat in rezolvare garanteaza doar ca orice solutie a ecuatiei

este si solutie a ecuatiei

,dar nu si invers.Ultima e doar o consecinta a primeia.

[Citat] [Citat] [Citat] Sau rezulta automat de undeva, si nu vad eu? Ecuaţii echivalente înseamnă că au aceleaşi soluţii. Dacă într-o ecuaţie înmulţim ambii membri cu o expresie care nu se poate anula, obţinem o ecuaţie echivalentă. E suficient de clar? Nu e clar deloc. Ce spuneti dvs e ceva evident, pentru care n-as fi deschis topic. Doar ca nu e suficient aici. Nu ai cum sa ajungi de la o ecuatie la alta doar prin inmultire cu z, fara a aplica si o trecere la modul! Chiar sunt curios ce garanteaza echivalenta. Stiu ca asta inseamna ecuatii echivalente, faptul ca au acelieasi solutii. Dar rationamentul aplicat in rezolvare garanteaza doar ca orice solutie a ecuatiei este si solutie a ecuatiei ,dar nu si invers.Ultima e doar o consecinta a primeia.

În ipoteza

, avem

Nu?

Deci eu totusi cred ca trebuie verificate solutiile la final. Aici probabil , datorita formei particulare a ecuatiei, nu apar solutii straine, insa in alte cazuri s-ar putea sa nu fie asa.
Un exemplu care-mi vine in minte erau ecuatiile de forma:

Ridicam la cub, si apoi in ce se obtine inlocuim din nou expresia din ecuatie cu 1, si in final obtinem solutia straina x=0!
Cam acelasi rationament e si aici:am dedus ceva plecand de la ecuatie, si apoi am folosit din nou ecuatia.

[Citat] În ipoteza , avem Nu?

De acord!
De fapt ecuatia se poate da doar sub forma

Dar, sa zicem ca as lucra "in ipoteza |z|=2"(facem deocamdata abstractie de faptul ca nu poate avea loc acest caz".
Ce s-ar obtine?

, deci daca nu fac verificarea, trag concluzia ca solutiile sunt si radacinile de ordin 6 din 4?

Ce vreau sa zic, in general, a "lucra intr-o anumita ipoteza" poate duce la erori: daca cumva acea ipoteza este nerealizabila/imposibila? Ca in exemplul meu cu |z|=2?

Abordarea mea intiala a fost urmatoarea urmatoarea: E clar ca orice solutie ecuatiei

este si solutie a ecuatiei

Reciproc, in

, trec la modul, obtin

, apoi impart prin z, obtin

si tinand cont de |z|=1, obtin

Eu zic ca o solutie riguroasa trebuie sa contina neaparat si aceasta ultima parte, ptr ca echivalenta nu poate fi altfel garantata. De aceea m-a frapat ca nu am gasit nicaieri(si am vazut rezolvarea asta in multe carti)aceasta parte.

[Citat] Un exemplu care-mi vine in minte erau ecuatiile de forma: Ridicam la cub, si apoi in ce se obtine inlocuim din nou expresia din ecuatie cu 1, si in final obtinem solutia straina x=0! Cam acelasi rationament e si aici:am dedus ceva plecand de la ecuatie, si apoi am folosit din nou ecuatia.

Nu e aşa. După cum am spus, după ce am eliminat cazul z=0, transformările pe care le facem conduc la ecuaţii echivalente, deci nu e nevoie de verificarea soluţiilor. De aceea nici nu găsiţi aşa ceva prin cărţi. În exemplul cu ecuaţia iraţională, situaţia e cu totul alta. Prin transformările făcute, se ajunge la o ecuaţie care nu este echivalentă cu cea iniţială. Consultaţi problema 61 din capitolul "Puteri şi radicali" al culegerii de Niţă şi Năstăsescu, pentru a înţelege de ce.

[Citat] [Citat] Un exemplu care-mi vine in minte erau ecuatiile de forma: Ridicam la cub, si apoi in ce se obtine inlocuim din nou expresia din ecuatie cu 1, si in final obtinem solutia straina x=0! Cam acelasi rationament e si aici:am dedus ceva plecand de la ecuatie, si apoi am folosit din nou ecuatia. Nu e aşa. După cum am spus, după ce am eliminat cazul z=0, transformările pe care le facem conduc la ecuaţii echivalente

Ati spus, dar nu ati justificat de ce Nu doriti sa prezentati argumentul complet? Matematica se bazeaza pe demonstratii si nu doar pe afirmatii, nu?
Ce ati spus cu pastrarea echivalentei prin inmultire cu ceva nenul ,este adevarat, dar nu este suficient. Cu trecerea la modul cum ramane?
Da, putem zice ca, pe multimea nr complexe de modul 1, ecuatiile au aceleasi solutii. Dar in cazul asta, zic eu, e necesar macar sa verificam ca solutiile ecuatiei de la sfarsit au modulul 1. Ceea ce are loc in acest caz si e banal de verificat. Insa fara verificare solutia e incompleta.
Daca ecuatiile A si B sunt echivalente pe multimea M , nu inseamna ca toate solutiile lui B sunt si ale lui A! Teoretic ecuatia B poate avea si solutii care nu-s in M, si atunci ele nu mai sunt solutii ale lui A. Ca sa nu zicem de cazul extrem in care B n-are nicio solutie in M.
De altfel am dat exemplu mai sus cu |z|=2, pe multimea asta ecuatia noastra e echivalenta cu

, dar asta nu inseamna ca radacinile lui 4 ar fi solutii, e o echivalenta goala, solutiile sunt aceleasi in aceasta multimea, si anume niciuna.
Deci , daca vrem sa fim rigurosi, autorii solutiilor omit o verificare esentiala si doar intamplarea face ca aceasta omitere sa nu afecteze rezultatul final.
Daca nu sunteti de acord cu mine prezentati va rog in detaliu de ce considerati evidenta echivalenta ecuatiilor.

în ipoteza

, ecuația

este echivalentă cu

În cazul problemei de față, ipoteza este