Am auzit urmatoarea afirmatie: Daca polinomul minimal al unei matrice (cu intrari complexe) nu are radacini multiple, atunci matricea este diagonalizabila. Este adevarata aceasta afirmatie? Daca da, imi puteti explica, va rog, de ce? Multumesc!

[Citat] Am auzit urmatoarea afirmatie: Daca polinomul minimal al unei matrice (cu intrari complexe) nu are radacini multiple, atunci matricea este diagonalizabila. Este adevarata aceasta afirmatie? Daca da, imi puteti explica, va rog, de ce? Multumesc!

Acest rezultat este deobicei intermediar undeva in dezvoltarea teoriei.
Daca ne plasam pe pozitia finala, cea in care stim de descompunerea Jordan rezultatul este usor de inteles si demonstrat:
Fara a restrânge generalitatea putem presupune ca avem o matrice

A

deja in forma unei "sume directe" de blocuri Jordan

J1, J2, ... , Jk

(asezate diagonal)
deci

A = J1 x J2 x ... x Jk

intr-o notatie care da de inteles fara a fi explicata.
Fie f polinomul minimal al lui A.
Aplicam f pe A. Dam de

f(A) = f(J1) x f(J2) x ... x f(Jk) .

f(A) se anuleaza daca si numai daca fiecare f(Ji) se anuleaza.
Deci ne putem reduce mai departe la cazul in care A este un bloc Jordan.
Si mai departe, fara a restrânge generalitatea, pe diagonala lui avem zerouri:
A este deci

0 1 0 0 ...
0 0 1 0 ...
0 0 0 1 ...
0 0 0 0 ...
: : : : :::

sau bucati din asa ceva.
Se poate ca un polinom de forma X + ?XX + ... sa anuleze asa ceva?
Vedem usor ca daca in acest bloc Jordan avem cel putin

0 1
0 0
atunci nu putem sa ne scapam de acel 1.
(Puterile XX, XXX, ... au de-a face cu "urmatoarele diagonala paralele cu diagonala principala".

Daca ceva nu este clar, rog a veni cu intrebari. E mai usor de explicat.

Se poate ca un polinom

Multumesc!