Construiti o functie continua f care duce un interval deschis dintr-un interval inchis.

[Citat] care duce un interval deschis dintr-un interval inchis.

Nu înţeleg formularea. Dacă ar fi fost "care duce un interval deschis într-un interval închis", era banal.

"duce un interval inchis intr-un interval deschis"

[Citat] "duce un interval inchis intr-un interval deschis"

Propozitia intreaga era prea greu de tiparit.
Asa ca trebuie sa ma adaptez si sa tiparesc si eu doar pe jumatate.

( -oo , +oo ) inchis si deschis in acelasi

[Citat] "duce un interval inchis intr-un interval deschis"

sau si mai bine:

daca inchis si marginit atunci compact, dar compact intr-un compact, dar compact inchis, dar inchis si deschis in conex totul sau nimic, dar totul nu e compact.

Deci nemarginit.

Nu am putut scrie tot enuntul, fiindca am scris de pe telefon si nu-mi mergea netul bine si am vrut sa ma asigur ca pot macar scrie esentialul.Am inteles cat de cat explicatia, totusi puteti detalia , adica sa dati un exemplu concret de functie? Va multumesc!

[Citat] "duce un interval inchis intr-un interval deschis"

Inainte de toate:
Care este nivelul la care este pusa problema?
Intrebarea de mai sus ne ajuta sa clarificam urmatoarea intrebare:
Ce este un interval inchis (in IR) respectiv deschis (in IR)?

Din punctul de vedere al ordinii de pe IR multimea ( -oo , oo ) = IR este un interval.
Din punctul de vedere al topologiei (de la facultate) acest interval este in acelasi timp inchis si deschis.

Nu se poate face nimic mai departe pâna ce enuntul nu se clarifica.
(Desigur ca scriem imediat o functie continua bijectiva de la IR la IR...)

Stiu ce inseamna o multime deschisa si inchisa, si implicit un interval inchis si deschis. Am invatat putina topologie.Totusi, nu am gasit un exemplu concret de o astfel de functie ce "duce un interval inchis intr-un interval deschis". Problema este propusa intr-un material gasit pe net la capitolul topologie.

Functia f de la IR la IR data de f(x) = x duce intervalul inchis ( -oo, oo ) = IR in intervalul deschis (-oo, oo ) = IR.

Multumesc de raspuns, gasisesm si eu in cele din urma aceasta functie, uitandu-ma din nou pe explicatiile pe care mi le-ati dat. Am gasit acum o problema asemanatoare in care ne intreaba daca putem construi tot o astfel de functie, dar fara a ne folosi de intervalul ( -oo, oo ) care este atat inchis , cat si deschis. Se poate gasi o astfel de functie?

[Citat] Multumesc de raspuns, gasisesm si eu in cele din urma aceasta functie, uitandu-ma din nou pe explicatiile pe care mi le-ati dat. Am gasit acum o problema asemanatoare in care ne intreaba daca putem construi tot o astfel de functie, dar fara a ne folosi de intervalul ( -oo, oo ) care este atat inchis , cat si deschis. Se poate gasi o astfel de functie?

In primul rând trebuie sa excludem o functie f : I -> Im f submultime a lui IR in care I este un interval inchis si marginit.
Motivul este urmatorul.
Un interval inchis si marginit este o multime compacta in IR.
O functie continua duce compacti in compacti.
(La nivel de liceu ajunge sa mentionam ca functia isi ia minimul m si maximul M pe I, apoi din continuitate fiecare valoare intermediara, deci Im f = [m,M] .)
Deci f(I) = Im f (imaginea lui f) este un compact.
In IR un compact se clasifica usor, este o multime inchisa si marginita.

Daca f(I) = Im f este o multime in acelasi timp inchisa si deschisa, atunci ea e "totul sau nimic", deci fie tot IR-ul, exclus din marginire, fie multimea vida.
(Dar dam la o parte multimea vida - oricum marginita - si functia continua de la ea la ea, cautam exemple care au cât de cât un sens.)

Deci intervalul pe care e definita functia f este nemarginit. (La un capat, ce a mai ramas.)

Fara a restrânge generalitatea cautam astfel o functie f de la
[ 0, +oo )
cu valori in IR
care are imaginea Im f deschisa.

Desigur ca trebuie sa facem rost de o functie fara minim absolut si fara maxim absolut. Deci imaginea are doar sansa Im f = IR = ( -oo, +oo ) .

Trebuie sa dam doar un exemplu. Putem lua ceva de forma

f(x) = x sin(x) .