Buna dimineata! Imi puteti demonstra, va rog, ca daca (x_n)(n>=0) este un sir de nr reale strict pozitive astfel incat sirul x_(n+1)/x_n (raport de termeni) sa tinda la 0, atunci sirul sqrt[n][x_n] (radical de ordinul n din x_n) tinde la 0? Este adevarat acest rezultat?
Multumesc anticipat!

criteriul radicalului (asa se numeste)

[Citat] Buna dimineata! Imi puteti demonstra, va rog, ca daca (x_n)(n>=0) este un sir de nr reale strict pozitive astfel incat sirul x_(n+1)/x_n (raport de termeni) sa tinda la 0, atunci sirul sqrt[n][x_n] (radical de ordinul n din x_n) tinde la 0? Este adevarat acest rezultat? Multumesc anticipat!

O sa las sirul sa inceapa cu x0 = 1, ma ajuta cumva poate didactic:
Impart peste tot cu x0 in sir, fara a restrange generalitatea luam x0 = 1 .
Folosim inegalitatea dintre media geometrica si cea aritmetica.

Radicalul de ordin n din numarul xn = xn / x0 il rescriem...
Folosind telescoparea
xn / x0 = xn / x(n-1) . ... . x2 / x1 . x1 / x0
si apoi clestele obtinut,
in acest mod ajunge sa aratam ca media aritmetica...

Ce rezultat (cunoscut) mai folosim?