1. Demonstraţi că mulţimea cu două elemente formată din transformarea identică şi dintr-o simetrie axială formează un grup faţă de operaţia de compunere.

2. Caracterizaţi patrulaterele care sunt invariate de o rotaţie nebanală.

[Citat] 1. Demonstraţi că mulţimea cu două elemente formată din transformarea identică şi dintr-o simetrie axială formează un grup faţă de operaţia de compunere.

Sa notam cu I si S cele doua transformari.
Compunerea functiilor o notez fara cerculetul de compunere.
Ajunge sa aratam ca au loc relatiile:

II = I
IS = SI = S
SS = I

Din cele de mai sus rezulta ca avem o bijectie naturala de la { I, S } la multimea subiacenta grupului cu doua permutari S2.
I se duce desigur in (), S in transpozitia (12).
Operatia de compunere de pe { I, S } este dusa (transportata) de catre aceasta bijectie la nivel de multimi in operatia de compunere a permutarilor din S2.

Deoarece S2 este grup, rezulta (din lema transpotului de structuri algebrice) ca { I, S } impreuna cu compunerea formeaza un grup.

[Citat] 2. Caracterizaţi patrulaterele care sunt invariate de o rotaţie nebanală.

Fir P un astfel de patrulater cu vârfurile
V1, V2, .., Vn
pentru care multimea vârfurilor este permutata prin actiunea unei rotatii de centru O si unghi u.

E bine sa gasim o litera pentru aceasta permutare a vârfurilor.
Eu o notez cu s.

Scriem aceasta permutare s ca produs de cicli disjuncti.
Observam ca toti acesti cicli au aceeasi lungime, altfel gasim (lema chineza a resturilor) un numar N astfel incat aplicând

s^N

unele vârfuri sunt lasate pe loc, altele nu.
Asa ceva este mai greu. O rotatie are un singur punct fix si excludem destul de repede cazul unui patrulater fixat de s cu un vârf in O.

De aici nu mai putem face mare lucru. Ciclii disjuncti corespund unor "sub-patrulatere" care sunt regulate si care sunt lasate pe loc.
Daca e sa desenez un exemplu, as face asa.
Luam un disc. Il impartim in N sectoare.
In unul din sectoare desenam o linie frânta care pleaca de undeva, dintr-un A1 si se termina undeva, intr-un B1. Acum rotim linia franta din sector in sector. Dam de imagini ale liniei frânte, de la A2 la B2 in sectorul al doilea si asa mai departe. Si acum unim. Linia frânta de la A1 la B1 pe care il unim cu A2 si mergem pe linia franta pana la B2 si e clar ce facem mai departe.

Acum dupa ce avem aceasta idee putem sa luam linia franta cumva aiurea in peisajul planului in care realizam poligonul. Tot asa o rotim, unim...

Patrulaterele convexe le obtinem insa folosind discul impartit in N sectoare.