Calculati suma seriei(nu merge sa scriu in laex, nu stiu de ce):
Suma de la n=3 la infinit din arctg(3/(n^2-n-1).

[Citat] Calculati suma seriei(nu merge sa scriu in latex, nu stiu de ce): Suma de la n=3 la infinit din arctg(3/(n^2-n-1)).

LaTeX...
Scrieti mereu ce ati incercat si nu s-a compilat.
Probabil ca arctg nu este definit in latex in mod normal... De aceea nu s-a compilat cu probabilitatea 50%. In general, tipariti va rog mai ingrijit, folositi o oarecare spatiere care ii ajuta pe cei ce au miii de pagini la activ, oricum cei ce raspund lucreaza ceva la raspuns... Ne intelegem noi cred cumva data viitoare. Eu am incercat de exemplu cu
[eq uation]
$$
\sum_{n\ge 3}\arctan\frac 3{n^2-n-1}
$$
[/eq uation]
(fara gaura din eq uation mai sus...)

si am dat de

Sa vedem cum stam cu solutia.
Am cautat intâi numeric limita, cod pari/gp

? sum( x=3, 100, atan( 3/(x^2-x-1) ) )
%1 = 1.540795326934920901278368109
? Pi/2
%2 = 1.570796326794896619231321692
? sum( x=3, 10000, atan( 3/(x^2-x-1) ) )
%3 = 1.570496326793896619245321566

si se pare ca limita este pi/2 .

Apoi am cerut primele cateva sume.
Apoi am cerut mai multe sume. Folosim

arctan A + arctan B = arctan ( (A+B) / (1-AB ) )

si cerem computerului sumele partiale ale seriei, in care sumam de la 3 la N.
Cod pari/gp din nou:

{g( A, B ) = (A+B)/(1+A*B);}
{a( n ) = 3/(n^2-n-1);}
{atansuma( N ) = s=0; for( k=3, N, s = g( s, a(k) ) ); s;}

for( putere=1,5, N=10^putere; s=atansuma(N), print( N, " -> ", s, " ~ ", s+0.0 ) )

Rulam si obtinem:

10 -> 480/149 ~ 3.221476510067114093959731544
100 -> 499800/14999 ~ 33.32222148143209547303153544
1000 -> 499998000/1499999 ~ 333.3322222214814809876539918
10000 -> 499999980000/149999999 ~ 3333.333222222221481481476543
100000 -> 499999999800000/14999999999 ~ 33333.33332222222222148148148

Si acum cel târziu ne putem declara multumiti, destul de repede se gaseste formula.
Este greu sa nu vedem ca valoarea creste cu N/3 in paralel, abaterea este subunitara.
Sa vedem care este aceasta abatere...

for( putere=1,5, N=10^putere; s=atansuma(N), print( N, " -> ", N/3, " + ", s - N/3 ) )

Rulam si obtinem:

10 -> 10/3 + -50/447
100 -> 100/3 + -500/44997
1000 -> 1000/3 + -5000/4499997
10000 -> 10000/3 + -50000/449999997
100000 -> 100000/3 + -500000/44999999997


Si acum pot trece la latex:

Ramâne sa mai demonstram prin inductie cele de mai sus.
Desigur ca limita se calculeaza acum foarte usor.

Mai simplă e o telescopare de genul

În final, trebuie folosit faptul că

pentru care se poate da o "demonstraţie fără cuvinte" foarte simpatică.

[Citat] Mai simplă e o telescopare de genul...

Desigur, multumesc, am cautat-o dar nu am gasit-o.
(Am cautat una cu reducere de pas unu, nu trei...)

[Citat] În final, trebuie folosit faptul că pentru care se poate da o "demonstraţie fără cuvinte" foarte simpatică.

Demonstratia fara cuvinte merge repede, incerc sa evit sa trec de pi/4 cu a si b in formula arctan a + arctan b = ... asa ca scriu:

Dermonstraţia fără cuvinte e asta:


dar o să scriu şi cuvinte

[Citat] Dermonstraţia fără cuvinte e asta...

(...dar atunci si triunghiul BAC este dreptunghic isoscel fara cuvinte... din partea mea oricum...)

Da, astea sunt necuvintele (mult) mai frumoase...