Un om are de lucru cu o firma, tocmai a aflat vestea cea buna.
El are tocmai de incheiat un contract.
Firma este specializata pe tipul de contract de care are nevoie omul, asa ca nu are de ales. Intra cu contractul si este trimis direct la etajul 0 la un functionar de rând cu contractul lui cu tot.

Destul de repede omul isi da seama ca cu firma asta e ceva dubios de foarte bine organizat. Fiecare lucrator din firma are exact un sef si exceptându-i pe "muritorii de rând", lucratorii de la parter, fiecare sef are exact trei lucratori in subordine. E ca intr-un pom in care din fiecare nod pleaca trei ramuri. Pana dam de capete...

Firma are cinci etaje.
La etajul 5 se lafaie directorul. El nu mai are pe nimeni peste el, daca facem abstractie de legi, religii, acte de casatorie si soacra pe care i-a dat-o viata.
Directorul se afla deci la nivelul N5.
Omul trebuie sa ajunga cu contractul lui la acest director, nivelul N5.

La etajul 4 sunt trei lucratori, asta daca suntem indugenti cu cuvantul lucrator, ei sunt in directa subordine a directorului "N5".

La etajul 3, nivelul N3, sunt noua lucratori, subordonati in grupe de cate trei celor de la N4.

Si asa mai departe.
Etajul 2, nivelul N2, 27 de lucratori, in grupe de cate trei, fiecare are un sef si numai un sef la N3. Fiecare sef din N3 are trei lucratori in subordine in N2.

Etajul 1, nivelul N1, 81 de lucratori, in grupe de cate trei, fiecare are un sef si numai un sef la N2. Fiecare sef din N2 are trei lucratori in subordine in N1.

Etajul 0, parterul, nivelul N0, 243 de lucratori, in grupe de cate trei, fiecare are un sef si numai un sef la N1. Fiecare sef din N1 are trei lucratori in subordine in N0.

Firma se numeste POM. (Promisiuni Oamenilor Muncii. Initial Partidul Oamenilor Muncii.)
Procesarea contractelor se face de la nivel la nivel.
Cand contractul ajunge la N5, se semneaza imediat si se termina afacerea.
Contractul este trimis in timpul vietii lui din POM de la un nivel la altul, fie de la N(k) la N(k+1), fie de la N(k) la N(k-1) daca exista acest nivel inferior, k intre 0,1,2,3,4.
Pe zi are loc exact o trimitere.

Trimiterea contractului o decide cel la care tocmai se afla contractul pe masa.
Fiecare lucrator trimite fie la unicul sef, fie la unul din cei trei lucratori in subordine. Din pacate se observa ca aceste trimiteri se fac aleator, deci de la nivelul N0 omul este trimis imediat... in fine o zi trimiterea... la nivelul N1, dar la nivelele N1, N2, N3, N4 omul e trimis doar cu probabilitatea de 1/4 in sus, spre nivelul superior, cu probabilitatea 3/4 ajunge la nivelul inferior.

Cum am spus, omul nostru tocmai intra la N0 cu contractul.
Care este numarul mediu de trimiteri / de zile pana la ajungerea lui la N5? (Unde se semneaza imediat.)

Exemplu:
Drumul direct este N0 - N1 - N2 - N3 - N4 - N5.
Au loc 5 trimiteri (numaram liniutele), prima are loc sigur, probabilitatea este 1, celelalte au probabilitatea 1/4. Deci ponderam aceste 5 trimiteri cu 1.(1/4)^4 . Acest drum contribuie la media de mai sus cu 5 . 1.(1/4)^4 . Dar exista multe alte drumuri...

BONUS:
Care este abaterea standard (de la media calculata mai sus), exprimata in trimiteri / zile ?

Inca o data, consider ca problema merita abordata...
Avem urmatorul graf:

* N0
|
|
* N1
|
|
* N2
|
|
* N3
|
|
* N4
|
|
* N5

si dam drumul la o miscare browniana care incepe in (nodul) N5.
Probabilitile de tranzit dintre stari sunt dupa cum urmeaza:
- de URCAT din N4, N3, N2, N1 toate 1/3
- de URCAT din N5 (in N4) = 1
- de COBORÂT din N1, N2, N3, N4 toate 2/3
- de COBORÂT din N0 = 1 .

Care este numarul *mediu* de pasi necesari pentru a ajunge din N5 in N0 ?

Sanse de abordare:
(1) Ca la clasa a VI-a. (Pe acest site am aflat ca toate problemele care se reduc imediat la rezolvarea de sisteme de ecuatii liniare sunt probleme de clasa a VI-a.)
(2) Simulând cu calculatorul, solutia informaticianului grabit.
(3) La nivel de facultate. (Si in acest caz e bine sa stim si abaterea standard de la medie...)

În maxima:

[Cod] (%i33) ee:[N1=1+(2/3)*N2,N2=1+(1/3)*N1+(2/3)*N3,N3=1+(1/3)*N2+(2/3)*N4,N4=1+(1/3)*N3+(2/3)*N5,N5=1+N4]; (%o33) [N1=(2*N2)/3+1,N2=(2*N3)/3+N1/3+1,N3=(2*N4)/3+N2/3+1,N4=(2*N5)/3+N3/3+1,N5=N4+1] (%i34) solve(%); (%o34) [[N5=109,N4=108,N3=103,N2=90,N1=61]]

Pare cam mare rezultatul 109...

Edit: am folosit probabilitățile din a doua postare: 1/3 respectiv 2/3. Probabilitățile din prima postare (1/4 și 3/4) generează numere diferite:

[Cod] (%i2) ee:[N1=1+(3/4)*N2,N2=1+(1/4)*N1+(3/4)*N3,N3=1+(1/4)*N2+(3/4)*N4,N4=1+(1/4)*N3+(3/4)*N5,N5=1+N4]; (%o2) [N1=(3*N2)/4+1,N2=(3*N3)/4+N1/4+1,N3=(3*N4)/4+N2/4+1,N4=(3*N5)/4+N3/4+1,N5=N4+1] (%i3) solve(%,[N1,N2,N3,N4,N5]); (%o3) [[N1=241,N2=320,N3=345,N4=352,N5=353]]