ată o problemă interesantă: să se determine valorile naturale ale lui n pentru care raportul dintre aria unui poligon cu n laturi și aria poligonului determinat de mijloacele laturilor este un invariant (nu depinde de poligonul ales). Evident că pentru n=3 raportul mai sus menționat este 4 indiferent de poligonul ales iar pentru n=4 raportul este 2 indiferent de patrulaterul ales. Pentru n de la 5 încolo , în cazul poligoanelor regulate raportul este inversul pătratului lui cos(pi/n). Am impresia că am demonstrat că n=3 și n=4 sunt singurele valori cu propietatea menționată din enunș, dar nu sunt sigur...

Este suficient sa aratam ca pentru n=5 avem mai multe (doua macar) valori diferite a functiei f de care se leaga problema,
f se aplica pe un poligon P cu n laturi, notam cu P' poligonul format de mijloacele laturilor, atunci:

f( P ) = Aria( P ) / Aria (P' ) .

(Asta deoarece pentru un m > 5 probabil ca putem sa ne legam repede de un caz degenerat in care mai multe vârfuri tind la unul.)

Pentru n=5 consideram atunci urmatoarea familie poligoane:

- Consideram poligonul P = (ABCDE) in care
--- ABCD este un dreptunghi cu AB si CD de lungimi a si BC si CD de lungimi b --- si cu E astfel incat ADE este triunghi isoscel de latura b si inaltime h.
--- mijlocul lui AD este in interiorul pentagonului.

Poza arata ca o "casa naiv desenata cu acoperisul ADE si baza dreptunghiul ABCD".

Fie MN linia mijlocie de lungime b in dreptunghiul ABCD care e paralela cu BC si CD. Putem sparge atunci P' intr-un trapez si un triunghi si face calculele.

Pentru scopul problemei ajunge sa observam:
- Pentru a care tinde la zero f(P) tinde la 4/3 .
- Pentru h care tinde la zero f(P) tinde la 8/5.
(Daca nu am gresit la calcule.)