| Autor |
Mesaj |
|
|
Fie A,B ∈ M_{2} (R) , astfel incat AB=BA si det(A²+B²)=0. Aratati ca det(A+B)=det(A-B)=0
|
|
|
[Citat]
Fie A,B ∈ M_{2} (R) , astfel incat AB=BA si det(A²+B²)=0. Aratati ca det(A+B)=det(A-B)=0 |
Consideram
C = A + iB si
D = A - iB .
Atunci CD = DC .
Ce se poate spune despre det(C) = det( A + iB ) ?
---
df (gauss)
|
|
|
Am rezolvat problema, multumesc oricum pentru indicatie. De fapt, det(A-B)=det(A+B), dar nu pot fi egale cu 0
|
|
|
De ce nu pot fi egale cu 0?
|
|
|
det(A+xB)=detA+x∑C1+x²detB
Daca cei doi determinanti ar fi egali cu 0, atunci polinomul de gradul al doilea de mai sus ar avea cel putin 3 radacini, si anume -1,1 si i sau -i, caci det(A²+B²)=0, adica det(A+iB)det(A-iB)=0
|
|
|
[Citat]
det(A+xB)=detA+x∑C1+x²detB
Daca cei doi determinanti ar fi egali cu 0, atunci polinomul de gradul al doilea de mai sus ar avea cel putin 3 radacini, si anume -1,1 si i sau -i, caci det(A²+B²)=0, adica det(A+iB)det(A-iB)=0 |
Dar este foarte bine posibil ca polinomul
det(A+xB) = detA + x  + x² detB
sa fie de fapt polinomul nul...
Mult mai important este sa vedem o solutie valida, una care merge cât se poate de repede la tinta.
---
df (gauss)
|
|
|
[Citat]
Fie A,B ∈ M_{2} (R) , astfel incat AB=BA si det(A²+B²)=0.
Aratati ca det(A+B)=det(A-B)=0 |
O solutie discutie posibila, care imi este mie mai usor de scris si descris cel putin, este urmatoarea:
Daca cumva det A = det B = 0, atunci ne legam ca mai sus de polinomul
det( A² + x B² ) = det(A²) + x + x² det(B²) = x
care este de fapt cel mult gradul întâi,
cu coeficientul real si cu radacina i (si cu radacina -i),
deci care se anuleaza.
Rezulta det( A² - y² B² ) = -y² = 0 .
Aceasta este o relatie polinomiala in y.
Rezulta mai departe
det( A+yB ) det(A-yB) = 0 .
Cel putin unul din cei doi factori (polinomiali) are astel o infinitate de radacini, deci se anuleaza peste tot.
Ramâne sa specificam y=1 si y=-1 in acest factor.
Daca cumva det A este nenul sau det B este nenul, atunci dupa o eventuala schimbare a lui A cu B putem presupune ca A este o matrice inversabila.
Inmultim atunci cu A', inversa lui A unde trebuie,
dam de aceeasi problema cu A'B = BA' si AA' = I in loc de A si B,
dupa care putem presupune fara a restrânge generalitatea ca A este matricea unitate, I.
Atunci numarul complex
det( iI + B )
are modulul la patrat egal cu
det( iI + B ) . det( -iI + B )
= det( I + B² )
= 0
deci se anuleaza.
Si acum plecam cu B de forma
[ a b ]
[ c d ]
si calculam determinantul lui B + iI, care este
(a+i)(d+i) - bc .
Partea lui imaginara este a+d.
Deci avem o data d = -a .
Deci 0 = det( B + iI ) = (a+i)(-a+i) - bc = -a² - 1 - bc .
Problema ne spune sa ne legam de
det( B+I ) = ( a+1 )( -a+1 ) - bc . Ne uitam si construim urmatorul contraexemplu:
A este I, deci
[ 1 0 ]
[ 0 1 ]
si B este de exemplu
[ 0 1 ]
[-1 0 ]
si atunci B² = -I, deci A² + B² = 0 , determinantul este de asemenea 0.
A+B este
[ 1 1 ]
[-1 1 ]
si determinantul este 1 - (-1) = 2 .
A+B este
[ 1 -1 ]
[ 1 1 ]
si determinantul este 1 - (-1) = 2 .
---
df (gauss)
|
Access general
Conţine mesaje necitite
