Acest lucru e ceva ce simt ca nu am inteles niciodata in profunzime.
Va sa zica e mai mult un fel de conventie.

In mod obisnuit, cand se demosntreaza o implicatie p->q se presupune p adevarata si se deduce, in aceasta ipoteza ca si q este adevarata. Perfect de bun-simt.
Daca insa p nu poate fi niciodata adevarata? Sau chiar nu stim (de ex o conjectura)? In acest caz cum pot sa presupun adevarat ceva despre care e posibil sa fie fals?
Sau proabil tocmai din acest motiv s-a convenit ca "falsul implica orice", ca sa "fiu acoperit" daca fac un rationament plecand de la ceva care s-ar putea dovedi fals?

Am intrebat si pe altcineva, si mi-a dat urmatorul exemplu:
-1=1 implica, prin ridicare la patrat, ca 1=1. Deci o propozitie falsa a implicat o propozitie adevarata.
Totusi nu m-a lamurit acest exemplu.
Eu stiu ca daca doua numere sunt egale, patratele lor sunt si ele egale. Aici insa am plecat de la doua numere care nu erau egale...deci pe ce baza am avut voie sa ridic la patrat?!

Poate imi scapa mie ceva, de mai mult timp reflectez la chestiunea aceasta si nu am reusit sa ajung la o clarificare care sa ma multumeasca.

Fie p, q doua propozitii.
Tabela de adevar a propozitiei
( p => q )
este

_ |0 1___
0 |1 1
1 |0 1

(0 ~ fals, 1 ~ adevarat.)
Esential este faptul ca ceva adevarat implica doar ceva adevarat.

Unde este acum problema cu "falsul implica orice"?

Mai sus este un exemplu in care plecand de la ceva fals,
( -1 = +1 ) propozitie falsa,
facand operatii pe care le facem cu numere (egale...), anume, ridicând la patrat,
obtinem
( +1 = +1 ), propozitie adevarata.

Da, este un exemplu pentru ( fals => adevarat ).
Care este problema de logica de fapt?

Pai la ce ne ajuta, mai exact, in matematica, aceasta conventie "falsul implica orice"?

Iar acel exemplu cu -1=1 implica 1=1 mi se pare dubios.
Ca sa deduc aceasta "implicatie trebuie sa
plec de la implicatia generala

Dar ptr ca asta sa fie valabila chiar pentru orice x si y (chiar si diferite) deja eu trebuie sa am conventia ca falsul implica orice.
Va sa zica nu pot sa folosesc acest exemplu ca sa justific de ce am convenit "falsul implica orice", ptr ca ma invart in cerc.

[Citat] Pai la ce ne ajuta, mai exact, in matematica, aceasta conventie "falsul implica orice"?

Ne ajuta pentru ca avem o logica consecventa.
Din punctul de vedere al informaticii - sa zicem - (desi filozofii au scris cel mai mult la inceput despre logica) pe lume avem propozitii.

Sa le notam cu p, q, r, ...
(Ca si cu numerele, vrem sa facem ceva cu propozitiile)
Incercam sa facem rost de "propozitii derivate", incercam ca de obicei sa construim ceva, nu sa distrugem ceva.

Si atunci oamenii se leaga de propozitiile "derivate", "construite" din acestea:

non( p )
p => q
p <=> q
p si q
p sau q

si in lumea logicii ajunge sa spunem care este valoarea de adevar de fiecare data.

Traim intr-o logica "binara", un lucru este fie adevarat, fie fals.
(In politica exista o alta lume, nimic nu e alb, nimic nu e negru, totul e gri balmajit tarcat. Ma rog, cine vrea poate sa traiasca si intr-o astfel de lume... In matematica chiar exista o logica care accepta adevarat daca e demonstrabil, fals daca este opusul adevarat si in plus mai e un gri care se traduce necunoscut / conjectural / sistemic nedefinit / ... Noi nu vrem si nu avem nevoie aici de asa ceva.)

Mentionez ca tot asa cum nu ne apucam sa punem in discutie "prostia cu teoria multimilor care se vede cel mai usor cand ne legam de multimea multimilor, deci ce mai, teoria multimilor nu exista..." tot asa nu putem sa ne apucam de logica fara sa avem cateva baze riguroase ale logicii.

Cele ce vin nu dau dovada chiar de un fundament solid...

[Citat] Iar acel exemplu cu -1=1 implica 1=1 mi se pare dubios. Ca sa deduc aceasta "implicatie trebuie sa plec de la implicatia generala

Cele de mai sus se traduc asa, formal:

Daca avem doua multimi X si Y si o functie f de la X la Y,
atunci propozitia.

Pentru orice x1, x2 din X

x1 = x2 in X
IMPLICA
f( x1 ) = f(x2 ) in Y .

care se traduce asa.
Pentru doua valori x1, x2 din X propozitia x1 = x2 poate sa fie
adevarata, deci x1 = x2,
falsa, deci x1 este diferit de x2.

Propozitia [ f(x1) = f(x2) ] poate fi de asemenea adevarata sau falsa.

Ceea ce stim este faptul ca *implicatia* este adevarata:

Propozitia[
... Propozitia[ x1 = x2 ] IMPLICA Propozitia[ f(x1) = f(x2) ]
]
este adevarata.

De aici se desprinde un fel de "teorema", care spune in limbaj metamatematic ca daca "aplicam o functie pe o egalitate (pe cei doi membri, in stanga si in dreapta semnului de egal) (care stim ca e egalitate) obtinem o egalitate".

[Citat] Dar ptr ca asta sa fie valabila chiar pentru orice x si y (chiar si diferite) deja eu trebuie sa am conventia ca falsul implica orice. Va sa zica nu pot sa folosesc acest exemplu ca sa justific de ce am convenit "falsul implica orice", ptr ca ma invart in cerc.

Da, ei bine, aceasta "teorema" o folosim din nou pentru a obtine lucrul de la care am plecat. Asta nu inseamna ca ne invartim in cerc, ci faptul ca trebuie sa ne decidem care este inceputul, care este baza axiomatica a logicii in care traim, de la care lucru plecam.

Mentionez inca o data o "poveste cunoscuta".
In matematica exista matematicieni care isi iau un spatiu vectorial, dar li se pare prea general, un cadru prea larg. Isi mai dau o norma, chiar un produs scalar, insista sa fie complet astfel dotat, isi iau operatori pe el, studiaza algebra lor, ii pun pe ea cateva topologii, cadrul este inca prea larg, bine, mai considera ca si o pondere trebuie sa existe cu anumite proprietati speciale si atunci se apuca sa studieze acest lucru cale de 20 de ani...

Ei bine, mai exista si matematicieni care din motive necunoscute se duc in directia opusa, ei se intreaba ce este o multime, neincrezatori fac o teorie intreaga pentru a avea o baza axiomatica a notiunii de multime in care se poate trai, aici gasesc un detaliu *insemnat* in propria constructie axiomatica si stau 20 de ani pentru a-l formula si axiomatiza fara echivoc.

Primii matematicieni se numesc uneori alpinisti, ei sunt cei ce vad un munte si se duc spre el, vor neaparat sa calce cu picioarele pe vârful lui, chiar si daca trebuie sa ajunga acolo cu piloane batute in surplombe si cu masca de oxigen.

Cei din a doua categorie se numesc speologi, ei vor gasi mereu un canal subteran plin de apa care curge torential, canal care poate fi trecut aparatura de scafandru si cu masca de oxigen pe fata.

Din motive necunoscute, exista insa nenumarati matematicieni care se declara multumiti cu aerul pe care il respira si se bucura zilnic de peisajul fantastic din drum toata viata...

Foarte interesant postul de mai sus.
Imi dau si eu cu parerea, ca si pe mine ma pasiona odata "sapatul in subsoluri".
Cat despre "o propozitie falsa implica orice propozitie", nu cred ca e ceva de inteles, e mai mult un lucru ce trebuie pur si simplu acceptat. O putem lua ca un fel de "axioma" a logicii.
Cum spune initiatorul mai sus, daca e o conventie?
Pai, pana la urma si axiomele din matematica sunt in definitiv niste conventii, evident nu facute chiar la intamplare.

Problema pe care o au unii cu intelegerea tabelei de adevar a implicatiei si cu faptul ca "falsul implica orice" rezida in aceea ca, in limbajul obisnuit implicatia are sens de cauzalitate, pe cand in matematica nu are neaparat acest inteles.
In logica abstracta, formalizata , separata de intuitie, implicatia e separata de intelesul ei "Cauzal" si redusa doar la valoarea ei de adevar, in functie de valorile de adevar ale propozitiilor componente.

P implica Q inseamna pur si simplu ca, in toate situatiile in care p este ADEVARATA(daca ele exista), ca sa vezi, Q este si ea adevarata.
E practic un "P si Q" conditionat insa de adevarul lui P.

Putem privi implicatia in limbaj de multimi: p implica q inseamna ca multimea A a "cazurilor" in care p este adevarata este INCLUSA in multimea B a cazurilor in care Q este adevarata. Asta inseamna implicatia, nici mai mult nici mai putin.
Daca p e mereu falsa? Nicio problema, in acest caz A este multimea VIDA, evident inclusa in orice alta multime.

Sau putem privi si in felul urmator, hai sa ne concentram cand e o implicatie FALSA: Doar atunci cand pot gasi o situatie in care ipoteza e adevarata dar concluzia e falsa.
Dar daca ipoteza e mereu FALSA, nu am cum sa gasesc o astfel de situatie, deci nu am cum sa justific ca implicatia e falsa. Pe cale de consecinta, cum lucram intr-o logica cu doar 2 valori de adevar, suntem fortati sa consider implicatia adevarata.


Iar in matematica, de multe ori sunt nevoit sa lucrez cu propozitii despre care nu stiu INCA daca sunt adevarate sau false. Si atunci fac deductii din ele, caut sa ma leg de ceva, sa obtin altceva, etc. Eu trebuie sa am voie sa fac acele deductii/implicatii linistit, fara sa-mi pun problema daca propozitia de la care am plecat este sau nu adevarata(ptr ca pur si simplu NU STIU inca), de aia e bine sa fiu acoperit si cazul in care ipoteza e falsa.
Ca altfel m-as bloca intrebandu-ma: pai stai, daca p nu stiu inca daca-i adevarata, cum pot sa fac deductii din ea? Dar, daca nu fac nimic cu ea, cum aflu eu daca-i adevarata sau nu/in ce cazuri e adevarata/daca poate fi adevarata in vreo situatie? Stau si ma uit la ea?
De aia e bine sa am implicatiile alea, de gen x=y implica x^2=y^2, valabile ptr orice x si y, ca eu sa pot "pleca la drum" fara sa -mi pun mari dileme daca ipoteza de la care am plecat e adevarata sau falsa.


Cat despre intelegerea in "profunzime", nu avem cum sa despicam firul in patru la nesfarsit in matematica! Undeva trebuie sa ne oprim si sa luam ceva de bun/axiomatic. Ca altfel ne invartim la nesfarsit, daca vreau ca orice sa-l explic si "inteleg" pe baza a altceva.
Spre exemplu, ce e aia a "intelege in profunzime" notiunea de PUNCT, DREAPTA, NUMAR, MULTIME? nu exista asa ceva. Astea sunt notiuni primare, nu se definesc, doar trebuie sa stabilesc care-s "Regulile jocului"cu ele si dupa aia ma pot juca linistit si contrui "castele" de nisip sau reale )
LA fel si implicatia, mai ales ca ea e chiar undeva mai spre "strafundul pamantului", tine de logica, care sta cumva "inaintea" matematicii.

Sa ne gandim, chiar si in limbajul obisnuit pot sa fac "implicatii" plecand de la ceva fals. Si sa para chiar logice.
Exemplu: Daca cristi2011 e presedintele tarii, el desemneaza primul ministru.
Evident eu nu sunt presedintele tarii insa pare destul de logic ca, in cazul in care as fi, as desemna premierul. Deci aceasta implicatie e adevarata.

S-o luam si altfel: daca spun o minciuna(Ceva fals), cineva poate sa o creada. Sau altcineva sa nu o creada.
Nu sunt chiar lucruri matematic exacte cele de mai sus, dar probabil si cine are probleme cu intelegerea faptului ca "falsul implica orice" se bazeaza foarte mult pe intuitie, care nu-l ajuta in cazul acesta.


Insa, cum spune gauss magistral mai sus, mai bine sa incercam sa construim, nu sa distrugem! Si in matematica, si in viata!
Asa, daca vrem sa cautam nod in papura si sa imbarligam totul, e usor. Mai ales in cazul notiunilor primare. N-am fi primii, se cunoaste criza "fundamentelor" de la sf sec 19-inceputul sec 20.
Cu acel paradox gen "multimea tuturor multimilor", care aparent duce la o contradictie, insa practic nesemnificativa. Unde folosesc eu multimea tuturor multimilor? Ce pot face cu ea daca ea deja cuprinde tot?
Si rezolvarea cum a venit? Nu-i mai zic multime, ii zic "universul tuturor multimilor." Cam asta e marea filozofie, e chiar pacat, cand matematica contine atatea "comori" de descoperit, atatea privelisti de admirat, sa ne conmsumam energia cu lucruri inutile sau chiar absurde doar pentru ca tinem noi mortis sa gasim un nod in papura undeva.