[Citat]

Inainte de toate, omul asta care propune asa ceva ma enerveaza.
Cu siguranta si pe el l-au enervat la rândul lui astfel de probleme, asadar ni le da mai departe. Este vorba cumva de cizelarea unei pozitii solide, ca in secolul XV poate, când cel ce punea problemele cele mai nerezolvabile la curtea regelui ramânea la curte...

In literatura este o diferenta mare intre cel ce culege ghicitori si cel ce construieste un roman... cam asa si aici.

(a) Termenul general este de forma plus/minus a(n) , unde a(n) este sir pozitiv ce converge (monoton - asta macar de la o vreme) la zero.

Partea fara ridicarea la puterea a n-a converge (crescator) la 1/3. Deci de la o vreme intra in ( 1/3-eps , 1/3+eps ) unde eps este un numar mic destul, de exemplu eps = 0.01 .

Avem chiar convergenta absoluta dupa ce comparam cu
( 1/3-eps )^n si
( 1/3+eps )^n .

(b) Seria diverge.
Trec la LaTeX...

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_test

Morala:
Lucrul nou invatat si lucrul din nou exersat sunt doua lucruri diferite.

P.S.
La (b) a trebuit sa pun la lucru masina de calcul, pari/gp, pentru a ma convinge de convergenta si cautând astfel argumentul pe "partea buna" a ghicitorii.


? S(n) = sum( k=1,n, cos(k) / ( sqrt(k) + cos(k) ) )
%1 = (n)->sum(k=1,n,cos(k)/(sqrt(k)+cos(k)))

? for( k=0, 6, n=10^k; print( "S(", n, ") este cam ", S(n) ) )
S(1) este cam 0.3507767947952375815581167506
S(10) este cam -2.121430707699030346165011901
S(100) este cam -2.967397345517551810813969189
S(1000) este cam -4.083492882019639728526623603
S(10000) este cam -5.275263240619501195098413818
S(100000) este cam -6.420458377932720307703592557
S(1000000) este cam -7.570125047865380892867222950
?

Se vede si divergenta logaritmica.

Multumesc!
Acum am inteles si la c) care este "mecanismul" de lucru, dar, mai am sa-l pun in "limbaj matematic".