Fie ABCD patrulater convex.
Consideram punctele E pe (BC), F pe (AD), G pe (AB), H pe (CD) astfel incat

Apoi fie M punctul de intersectie al dreptelor EF si GH.

Sa se arate ca

Am o solutie cu vectori de pozitie care incepe prin a considera punctul M1 care imparte pe [FE] in raportul b si M2 punctul care imparte pe [GH] in raportul a.
Se scriu vectorii de pozitie ai lui M1 si M2 si se arata ca sunt egali, deci punctele coincid, si atunci ele trebuie sa coincida cu M. Si gata.

S-ar putea da si o alta solutie? Care ar fi solutia fara vectori?
Nu stiu de ce , dar solutia asta, chiar daca nu poate fi contestata, pare un fel de "iepure scos din palarie". )

Ma gandeam la o solutie mai "pamanteana"/directa sa zic asa, sa incep prin a nota

si apoi cumva sa deduc ca x=a si y=b, dar nu-mi iese nicicum...

[Citat] S-ar putea da si o alta solutie? Care ar fi solutia fara vectori?

Indicaţie: paralelograme

Şi mai indicaţie: http://tube.geogebra.org/m/1897429

Multumesc! Cred ca mi-a iesit in final (am mai dus si alte paralele).

P.S De fapt ceva tot nu-mi iese...

[Citat] Multumesc! Cred ca mi-a iesit in final (am mai dus si alte paralele). P.S De fapt ceva tot nu-mi iese...

Consideraţi punctele M1 şi M2 din propria dv. postare. Ce observaţi pe noua figură?

P.S. Figura e interactivă, nu e un simplu desen

Cred că e mai simplă soluţia cu vectori la această problemă. In fond ideea este cam aceeaşi. Adică aceea de a considera provizoriu alte puncte care impart segmentele respective in rapoartele dorite.
Desigur, dacă ştim vectorii la nivelul ptr care e propusa.

Soluţia dlui gigelmarga e foarte bună, însă acesta e un exemplu de problema in care vectorii chiar uşurează rezolvarea.

[Citat] acesta e un exemplu de problema in care vectorii chiar uşurează rezolvarea.

Cu condiţia să nu avem habar de teorema lui Thales

[Citat] [Citat] acesta e un exemplu de problema in care vectorii chiar uşurează rezolvarea. Cu condiţia să nu avem habar de teorema lui Thales

Practic teorema lui Thales e "împachetată" în instrumentul de lucru oferit de vectori deoarece cand justifici proprietăţile înmulţirii cu scalari nu prea poţi fără Thales. Nu?
De aceea e putin amuzant cum în unele cărţi se trece rapid prin proprietăţile vectorilor(le luăm de bune că "seamănă" cu cele ale numerelor") şi după aceea oferă o frumoasă soluţie la teorema lui Thales cu vectori. Care vectori sunt fundamentaţi tocmai pe Thales.

Sigur, e de preferat soluţia vectorială dacă nu-ţi vine ideea construcţiei auxiliare. Atunci înlocuim ideile cu un calcul.

Personal, prefer întotdeauna o soluţie sintetică.