\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} + \frac{3}{ 2^{2} } +...+ \frac{2n-1}{ 2^{n} }

Chestia din suma e (2k-1)/2^k. Adica k/2^(k-1) - 1/2^k. Deci o diferenta de o suma interesanta si o progresie geometrica. De aici e simplu.
Suma interesanta se face derivand suma x^k si particularizand cu 1/2.

[Citat] Chestia din suma e (2k-1)/2^k. Adica k/2^(k-1) - 1/2^k. Deci o diferenta de o suma interesanta si o progresie geometrica. De aici e simplu. Suma interesanta se face derivand suma x^k si particularizand cu 1/2.

Comentarii:
"Chestia" este termenul general. Va recomand sa folositi terminologia aceasta.
"Suma interesanta" este ceva ce mai bine nu pomenim.
"Progresia geometrica" este de fapt "suma primilor termeni dintr-o progresie geometrica". (Sau "suma interesanta" nu este o suma. In orice caz, subiectul nu se intelege. Daca subiectul este "chestia", atunci "suma interesanta" este de fapt "termenul interesant". Ar fi excelent daca spuneti lucrurilor pe nume.)

Deci dupa ce nu am facut nimic...

[Citat] De aici e simplu.

Este clar si de ce...
Nu se intelege prea bine pâna aici care este "suma interesanta", in orice caz, ea "se face". Anume derivând "suma x^k". Desigur ca ne legam de suma din x^k de undeva pâna undeva si apoi particularizam ceva cu 1/2.

Daca e simplu, scrieti data viitoare solutia simpla.
Scrisul (cu claritate) este cu siguranta ceva mai complicat, dar exact de acest lucru are nevoie cel ce intreaba.

Va rog, nu mai continuati in acest mod expeditiv. Cu tot atâta efort de tiparit ati fi putut da solutia "cu x cu tot".

[Citat] \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} + \frac{3}{ 2^{2} } +...+ \frac{2n-1}{ 2^{n} }

Plasati va rog cele de mai sus data viitoare (corespunzator formulelor urmatoare) astfel:

[equ ation]
$$
\lim_{n \to \infty}
\left(
\frac{1}{2} + \frac{3}{ 2^{2} } +...+ \frac{2n-1}{ 2^{n} }
\right)
$$%
[/equ ation]


(Fara acel spatiu liber equ ation...)
(Butonul [LATEX] din josul paginii de scris mesaje introduce
[equ ation]
[/equ ation]
sau asa ceva, va plasati cu cursorul in interiorul blocului pro-di equation si tipariti text si formule normal...)

Si acum la problema:

Ne verificam cu calculatorul, sage, soft liber de matematica "simplu de mânuit":

sage: var( 'n' );

sage: sum( (2*n-1) / 2^n , n, 1, oo )
3

sage: var( 'x' );

sage: sum( (2*n-1) * x^n , n, 1, oo )
(x^2 + x)/(x^2 - 2*x + 1)