Buna seara
Am intalnit intr-o formula in cadrul unei probleme cu probabilitati o relatie cu suma de puteri de genul:

Eu stiu sa calculez o suma asemanatoare dar la care termenii sunt la puteri de ordinul doi sau trei(prin inductie).
Suma de mai sus se poate calcula?Dar fara program de calcul.
De asemeni putem sa calculam o suma de genul:

Da da desigur scuzati s-a strecurat o eroare de tastare cred.
De asemeni cum se poate calcula in general o suma de genul:

Vreo indicatie?
Multumesc

Problema este veche,
https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber's_formula .

Sa notam cu S(p,n) suma puterilor de ordin p ale numerelor naturale
1, 2, ... , n .

In liceu ideea inductiva de a "face calculul" lui S(p,n) sub forma unui polinom de grad (p+1) in n este de a folosi identitatea lui Pascal din link-ul de mai sus. Calculele de care avem nevoie pentru numere p mai mari decât 5 pe acest drum sunt sinuoase.

Cu calculatorul lucrurile sunt deja programate, de exemplu:

sage: var( 'k,n' );
sage: sum( k^10, k, 1, n ).factor()
1/66*(3*n^6 + 9*n^5 + 2*n^4 - 11*n^3 + 3*n^2 + 10*n - 5)*(n^2 + n - 1)*(2*n + 1)*(n + 1)*n


Deja se pierde sensul facerii calculelor "de mâna".
(Tot asa cum pe vremea mea exista tortura calculului lui radical din 7 cu patru zecimale exacte, iar azi nimeni nu se gândeste la asa ceva...)

Va multumesc foarte mult .
Acum sunt lamurit pe deplin.