Problema este veche,
https://en.wikipedia.org/wiki/Faulhaber's_formula .
Sa notam cu S(p,n) suma puterilor de ordin p ale numerelor naturale
1, 2, ... , n .
In liceu ideea inductiva de a "face calculul" lui S(p,n) sub forma unui polinom de grad (p+1) in n este de a folosi identitatea lui Pascal din link-ul de mai sus. Calculele de care avem nevoie pentru numere p mai mari decât 5 pe acest drum sunt sinuoase.
Cu calculatorul lucrurile sunt deja programate, de exemplu:
sage: var( 'k,n' );
sage: sum( k^10, k, 1, n ).factor()
1/66*(3*n^6 + 9*n^5 + 2*n^4 - 11*n^3 + 3*n^2 + 10*n - 5)*(n^2 + n - 1)*(2*n + 1)*(n + 1)*n
Deja se pierde sensul facerii calculelor "de mâna".
(Tot asa cum pe vremea mea exista tortura calculului lui radical din 7 cu patru zecimale exacte, iar azi nimeni nu se gândeste la asa ceva...)