[Citat]

Incerc sa raspund la ultima intrebare.
Lucram peste corpul de numere complexe. (Corp algebric inchis de caracteristica zero.) Toate spatiile vectoriale sunt peste el.

La sfârsitul teoriei stim ca avem o descompunere Jordan pentru orice matrice A.
Cu alte cuvinte, dupa o eventuala schimbare de baza, A "este" o matrice J cu blocuri Jordan

J1, J2, ... , Jk.

Fiecare bloc Jordan este scris mai sus pentru o alta valoare proprie.
Cum poate arata un astfel de bloc Jordan A, revin la notatia cu A, pentru valoarea proprie a?

Putem avea "noroc" sa avem o matrice diagonalizabila A de exemplu

(1)
a 0 0 0
0 a 0 0
0 0 a 0
0 0 0 a

dar putem avea si cazurile
(2)
a 1 0 0
0 a 1 0
0 0 a 1
0 0 0 a

(3)
a 1 0 0
0 a 0 0
0 0 a 1
0 0 0 a

(4)
a 0 0 0
0 a 1 0
0 0 a 1
0 0 0 a

(5)
a 0 0 0
0 a 0 0
0 0 a 1
0 0 0 a

si ...

Sa vedem ce avem pe cazuri.
De fiecare data asociem spatiile urmatoare:

V(a) = spatiul vectorilor proprii pentru valoarea proprie a, i.e. spatiul anulat de (A-a) = (A-aI) ,

W(a) = spatiul (propriu) generalizat pentru valoarea proprie a, i.e. spatiul anulat de o putere convenabila a lui (A-a) = (A-aI) , a patra ajunge desigur mai sus in exemple.

Atunci avem pe cazuri:

(1)
dim V(a) = 4
dim W(a) = 4

(2)
dim V(a) = 1
dim W(a) = 4

(3)
dim V(a) = 2
dim W(a) = 4

(4)
dim V(a) = 2
dim W(a) = 4

(5)
dim V(a) = 3
dim W(a) = 4

...

De fiecare data spatiul propriu generalizat W(a) pentru
a,a,a,a
(ca in intrebare) este de dimensiune 4,
spatiul vectorilor proprii este insa de dimensiune intre 1 si 4, totul este posibil, este numarul de "mini-blocuri" Jordan pentru a.
O sa pun puncte in exemplele de mai sus ca sa se vada mai bine "miniblocurile", punctele sunt tot zerouri...

(1)
a . . .
. a . .
. . a .
. . . a

(2)
a 1 0 0
0 a 1 0
0 0 a 1
0 0 0 a

(3)
a 1 . .
0 a . .
. . a 1
. . 0 a

(4)
a . . .
. a 1 0
. 0 a 1
. 0 0 a

(5)
a . . .
. a . .
. . a 1
. . 0 a

Am raspuns la alta intrebare, dar cred ca asa cea pusa se autodizolva.

Multumesc! Sa inteleg ca nu se poate spune absolut nimic (in cazul in care nu stim nimic concret despre A) despre dimensiunile spatiilor respective.
Acum, sa vedem daca am inteles: In situatia (1) avem 4 vectori liniar independenti , in cazul (2) avem 1 singur vector propriu liniar independent, in cazurile (3) si (4) avem cate 2 vectori liniar independenti, iar in cazul (5) avem 3 vectori liniar independenti.
Edit: Exista vreo legatura intre rangul lui A si valorile proprii (cu multiplicacitatile lor)?

Completez cu albastru...

[Citat] Sa inteleg ca nu se poate spune absolut nimic (in cazul in care nu stim nimic concret despre A) despre dimensiunile spatiilor respective. Acum, sa vedem daca am inteles: In situatia (1) avem 4 vectori (proprii pentru valoarea proprie a) liniar independenti (dar nu mai multi), in cazul (2) avem 1 singur vector propriu (pentru valoarea proprie a) liniar independent (dar nu mai multi), in cazurile (3) si (4) avem cate 2 vectori (proprii pentru valoarea proprie a) liniar independenti (dar nu mai multi), iar in cazul (5) avem 3 vectori (proprii pentru valoarea proprie a) liniar independenti (dar nu mai multi).

Da, asa este.

[Citat] Edit: Exista vreo legatura intre rangul lui A si valorile proprii (cu multiplicitatile lor)?

Daca 0 este valoare proprie pentru A de tip nxn, atunci A nu este inversabila deci rangul este < n . Altfel A are rangul maxim n.

Este natural sa ne uitam la valoarea proprie zero.
Sa zicem ca facem o descompunere Jordan din nou si ca apare (fara a restrânge generalitatea) doar blocul cu valoarea proprie zero, bloc pe care il spargem in mai multe "miniblocuri".
(Cu blocurile care corespund valorilor proprii nenule stim repede ce sa facem.)

Dam din nou de cazuri asemanatoare cu cele de mai sus, (1), (2), (3), ... in care a este zero. Numarul 1-urilor de peste diagonala nula este rangul.
Putem deduce repede o formula ce depinde de

dim V(0) si
dim W(0) ,

in orice caz, trebuie sa stim ceva mai mult decât multiplicitatea lui 0.