Notez cu V spatiul vectorial real de dimensiune n al vectorilor coloana cu n intrari. Il vedem ca spatiu de matirce nx1.

O matrice A de tip nxn peste IR actioneaza prin inmultire de la stânga pe V.
Aplicatia liniara indusa o notez cu L(A).

Stim din cele date ca avem:

Ker L(A) = Ker L(B) .

Ni se cere ceva despre rangul lui A, respectiv B, deci vrem sa stim ceva despre

dim Im L(A) si dim Im L(B) .

Exista cumva o formula care se leaga de dimensiunea nucleului, respectiv a imaginii unei aplicatii liniare... ?

Bine, sa facem podul...

In scoala s-a definit uneori rangul unei matrice A de tip

k x n

(peste corpul C al numerelor complexe) ca fiind numarul maxim r pentru care exista o submatrice a lui A de tip rxr care are determinantul nenul. Atunci determinantul trebuia "definit" in prealabil.

Sau s-a definit r a fi numarul maxim de coloane din A care sunt liniar independente.

La nivel de facultate e clara echivalenta celor doua moduri de introducere de mai sus.

La facultate consideram aplicatia liniara asociata lui A, o notez la fel, L(A), ea se duce

de la V(n), spatiul matricelor de tip nx1 (peste acelasi corp),
spre V(k)...

Vrem sa aratam atunci:

dim Im L(A) = numarul maxim de coloane liniar independente din matricea A.

Sa vedem.
Sa notam cu r numarul de pe dreapta, numarul maxim de coloane...

Notam cu e1, e2, ... , en vectorii bazei canonice din V(n).
Ei sunt trimisi prin L(A), inmultirea din stânga cu A, in
A.e1, A.e2, ... , A.en
care sunt exact coloanele lui A, cele n...
Acesta este "podul" de legatura, de aici trebuie numai sa vedem cu scriem propozitiile ca sa mergem la tinta. Cel mai simplu mi se pare asa.

Vectorii de mai sus genereaza Im L(A). Ei sunt un sistem de generatori. Numarul maxim de vectori liniar independenti din acest sistem este dimensiunea spatiului generat.

Multumesc mult! Am inteles acum!