Iată o problemă interesantă :

Să se determine toate tripletele de numere raționale nenule (a;b;c) pentru care , oricum ai permuta coeficienții a;b;c toate cel șase ecuații de gradul al doilea care se obțin să aibă soluții raționale.

Evident că tripletele de tipul celor din enunț cu suma nulă verifică proprietatea menționată. Oare reciproca este adevărată ? Tripletele cu sumă nulă sunt singurle care verifică proprietatea din enunț sau mai există și altele ?

Există destule. De exemplu (5,52,-33) sau (8,45,-77).

Deci reciproca este falsă. Cum se determină toate tripletele cu porprietatea din enunț ?

M-am uitat si eu putin pe problema.
Am cautat solutii de forma -1000 < c < 0 < a < b < 1000 cu
a,b,c fara divizor comun,
fara suma zero,
astfel incat cei trei determinanti sa fie (foarte aproape de) intregi (din CC).

"Primele" câteva solutii ar fi din urmatoarea lista

? h(s) = round( 10^10*s - 10^10*round(s) )
? g(a,b,c) = round( h( sqrt( b^2-4*a*c ) ) )
? N=1000; for( a=1,N, for( b=a,N, for(c=-N,-1, if(g(a,b,c),,if( g(b,c,a),, if( g(c,a,b),, if( a+b+c, if( gcd( a, gcd(b,c) ) - 1,, print( a, " ", b, " ", c ) ) ) ) ) ) ) ) )
5 17 -12
5 52 -33
8 45 -77
9 36 -85
11 52 -288
16 765 -144
20 32 -133
21 76 -145
23 238 -165
25 25 -14
32 60 -143
45 172 -448
45 612 -473
58 143 -345
68 160 -657
75 116 -224
80 979 -576
92 217 -480
99 855 -986
133 660 -697
145 704 -996
148 205 -288
155 171 -374
289 289 -480
333 340 -913

si nu vad direct nici un mod de a le produce "repede" sau intr-o familie ordonata.
(Acea linie cu 5 17 -12 vine gresit, masina de calcul stie ceva despre 14i...La fel de rele sunt si liniile cu 25 25 -14 si 289 289 -480, trebuia sa ma opresc cu |c|-ul la marginea cu radical din (4ab)... )

Care este sursa probelemei?

Pentru a<100 am gasit (inclusiv triplete de numere nu neaparat prime intre ele):

sage: n=1000
sage: for a in [1..n]:
....: for b in [a..n]:
....: for c in [-n..0]:
....: if (a^2-4*b*c).is_square() and (b^2-4*a*c).is_square() and (c^2-4*a*b).is_square() and a+b+c!=0 and a*b*c!=0:
....: print a,b,c
....:

5 52 -33
8 45 -77
9 36 -85
10 104 -66
11 52 -288
15 156 -99
16 90 -154
18 72 -170
20 32 -133
20 208 -132
21 76 -145
22 104 -576
23 238 -165
24 135 -231
25 260 -165
27 108 -255
30 312 -198
32 60 -143
32 180 -308
33 156 -864
35 364 -231
36 144 -340
40 64 -266
40 225 -385
40 416 -264
42 152 -290
45 172 -448
45 180 -425
45 468 -297
45 612 -473
46 476 -330
48 270 -462
50 520 -330
54 216 -510
55 572 -363
56 315 -539
58 143 -345
60 96 -399
60 624 -396
63 228 -435
63 252 -595
64 120 -286
64 360 -616
65 676 -429
68 160 -657
69 714 -495
70 728 -462
72 288 -680
72 405 -693
75 116 -224
75 780 -495
80 128 -532
80 450 -770
80 832 -528
80 979 -576
81 324 -765
84 304 -580
85 884 -561
88 495 -847
90 344 -896
90 360 -850
90 936 -594
92 217 -480
92 952 -660
95 988 -627
96 180 -429
96 540 -924
99 396 -935
99 855 -986

Triplete cu -1000 < c < 0 < a < b < 1000, relativ prime, sunt 20.

Daca tot folosim computere, o sa reformulez, asta pentru a se vedea de ce calibru este problema.

Mai intâi scriu codul, apoi il comentez.

[Citat] sage: R.<x,y,s,t,u> = PolynomialRing( QQ, 5 ) sage: I = R * [ x^2 -4*y - s^2, y^2 -4*x -t^2, 1-4*x*y -u^2 ] sage: R Multivariate Polynomial Ring in x, y, s, t, u over Rational Field sage: I Ideal (x^2 - s^2 - 4*y, y^2 - t^2 - 4*x, -4*x*y - u^2 + 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, s, t, u over Rational Field sage: I.elimination_ideal( [x,y] ) Ideal (256*s^4*t^4 - 32*s^2*t^2*u^4 + u^8 - 4096*s^6 - 4096*t^6 - 960*s^2*t^2*u^2 + 188*u^6 + 66528*s^2*t^2 + 11718*u^4 + 238140*u^2 - 250047) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, s, t, u over Rational Field sage: p( S,T,U ) = (256*S^4*T^4 - 32*S^2*T^2*U^4 + U^8 - 4096*S^6 - 4096*T^6 - 960*S^2*T^2*U^2 + 188*U^6 + 66528*S^2*T^2 + 11718*U^4 + 238140*U^2 - 250047) sage: a = -5/33 sage: b = -52/33 sage: ( a^2-4*b, b^2-4*a, 1-4*a*b ) (6889/1089, 3364/1089, 49/1089) sage: for entry in ( a^2-4*b, b^2-4*a, 1-4*a*b ): print entry, 'are radicalul', sqrt(entry) 6889/1089 are radicalul 83/33 3364/1089 are radicalul 58/33 49/1089 are radicalul 7/33 sage: p( sqrt(a^2-4*b), sqrt(b^2-4*a), sqrt(1-4*a*b) ) 0

Si acum pe rând:

In primul rând ne dam cadrul in care sa rezolvam problema.
Fara a restrânge generalitatea,
putem lua c=1 ori de câte ori avem o solutie a,b,c a problemei date.
Pentru a avea litere mai "normale" pentru necunoscute, fie:

x = a/c ,
y = b/c .

Avem ceva conditii pentru discriminanti.
In particular gasim numere rationale s,t,u pentru care au loc

xx - 4y = ss ,
yy - 4x = tt ,
1 - 4xy = uu .

Este timpul sa dam un ideal cu aceste ecuatii...

[Citat] sage: R.<x,y,s,t,u> = PolynomialRing( QQ, 5 ) sage: I = R * [ x^2 -4*y - s^2, y^2 -4*x -t^2, 1-4*x*y -u^2 ] sage: R Multivariate Polynomial Ring in x, y, s, t, u over Rational Field sage: I Ideal (x^2 - s^2 - 4*y, y^2 - t^2 - 4*x, -4*x*y - u^2 + 1) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, s, t, u over Rational Field

Si acum ne intrebam in ce conditii avem o solutii in x,y date fiind datele, dati fiind parametrii s,t,u. Vrem deci sa eliminam x,y din cele trei ecuatii de mai sus, astfel incat sa obtinem o singura ecuatie in s,t,u.

Iat-o:

[Citat] sage: I.elimination_ideal( [x,y] ) Ideal (256*s^4*t^4 - 32*s^2*t^2*u^4 + u^8 - 4096*s^6 - 4096*t^6 - 960*s^2*t^2*u^2 + 188*u^6 + 66528*s^2*t^2 + 11718*u^4 + 238140*u^2 - 250047) of Multivariate Polynomial Ring in x, y, s, t, u over Rational Field

Cum se transcrie ceea ce am obtinut mai sus in cuvinte?
Cam asa: daca avem o solutie x,y a problemei initiale, atunci gasim s,t,u numere rationale care satisfac ecuatia data de anularea generatorului idealului de mai sus. Invers, daca plecam cu s,t,u care satisfac... atunci putem rezolva algebric in x,y cele trei ecuatii date.

Solutia problemei este deci echivalenta cu a gasi toate punctele rationale

(s,t,u)


care satisfac:

ZERO = 256 s^4 t^4 - 32 s^2 t^2 u^4 + u^8 - 4096 (s^6 + t^6) - 960 s^2 t^2 u^2 + 188 u^6 + 66528 s^2 t^2 + 11718 u^4 + 238140 u^2 - 250047 .

Ma apuc de lucru mai departe numai daca are chiar sens sa caut solutii in numere rationale ale acestei suprafete algebrice.
(Trei variabile si o conditie.)

Sa verificam cu cea mai mica solutie gasita numeric.

[Citat] sage: p( S,T,U ) = (256*S^4*T^4 - 32*S^2*T^2*U^4 + U^8 - 4096*S^6 - 4096*T^6 - 960*S^2*T^2*U^2 + 188*U^6 + 66528*S^2*T^2 + 11718*U^4 + 238140*U^2 - 250047) sage: a = -5/33 sage: b = -52/33 sage: ( a^2-4*b, b^2-4*a, 1-4*a*b ) (6889/1089, 3364/1089, 49/1089) sage: for entry in ( a^2-4*b, b^2-4*a, 1-4*a*b ): print entry, 'are radicalul', sqrt(entry) 6889/1089 are radicalul 83/33 3364/1089 are radicalul 58/33 49/1089 are radicalul 7/33 sage: p( sqrt(a^2-4*b), sqrt(b^2-4*a), sqrt(1-4*a*b) ) 0

Ma opresc aici...

Nota: Astfel de "bucatarii" sunt esentiale pentru cei ce incearca sa abordeze probleme de teoria numerelor in acest secol. (Sunt necesare, nu insa si suficiente.)