Buna!
Fie
ca mai sus o radacina primitiva de ordinul 13 a unitatii.
Ea satisface ecuatia de mai sus, ecuatie de grad minim posibil(a).
Consideram corpul
care este multimea tuturor numerelor de forma
Se stie din secole trecute cine este acest corp si care este structrura subcorpurilor sale. Tot asa cum considerand
peste
putem depista daca un numar este real, aplicandu-i conjugarea complexa "F", si vazand daca sta pe loc, tot asa se poatevedea daca un element al corpului
sta intr-un subcorp "frumos".
Se stie ca grupul Galois al corpului ciclotomic de mai sus este COMUTATIV cu 12 elemente. Avem deci 12 tipuri de "conjugari" ale lui
peste
(vizavi de doar doua "conjugari" ale lui
peste
.
Nu ma intrerupeti, cititi mai departe. Aceste automorfisme sunt generate de automorfismul Frobenius F,
In particular se vede imediat ca
De aceea elementul dat de problema, notat aici mai sus cu N, se rescrie ca
deci "sta pe loc" la aplicarea lui F^4. De fapt, sta pe loc chiar la aplicarea lui F^2. (In acest caz, tangenta patrata de pi pe treispe se duce prin F^2 in
tangenta patrata de patru pi pe treispe, etc.)
Poate vedeti acest lucru mai bine daca scrieti elementul dat drept
(Iar 3^3*pi /13 este ...)
De aici, teoria Galois ne spune ca numarul N traieste de fapt in unicul subcorp al lui
de grad doi peste
. Acesta este "intamplator" din teoria corpurilor ciclotomice, cunoscuta de prin 1850, exact
. Stiind ca avem de-a face cu un element dintr-un corp "mic", destul de repede se poate depista atunci care este acest element.
(I se calculeaza de exemplu numeric urma si norma peset acest subcorp "mic".)
Nu credeti deci ca astfel de probleme vin din "cine stie ce nastrujnicie olimpica". Din pacate, la olimpiade apar deseori probleme ce vin dintr-o "structura superioara", probleme pe care cel ce le propune le poate rezolva "intamplator" si la nivel de clasa a XII-a. Desigur, cam orice argument se poate distila si la acest nivel. Inca. (Cat timp programa de liceu la nivel de olimpiada depaseste cunostintele medii ale unuia care termina facultatea in germania...)
Pe scurt: Problema a fost compusa de catre cineva care stia teorie Galois si structura corpurilor ciclotomice. El a gasit o solutie "simpla" apoi, de obicei construind explicit polinomul cu cele trei radacini ce se afla ca termeni in suma de mai sus.
Problema se rezolva asa sau asa printr-un calcul in corpul QQ(omega).
Calculul de mai sus il incurajez.
Problema fiind rezolvata, nu accept nici un fel de discutii de forma "de un'ie i-o vinit ideia aluia", daca nu se accepta o discutie despre teoria Galois a corpurilor ciclotomice.
Ca exercitiu, gasiti corpul in care se rezolva punctul doi. Veti vedea ca avem de-a face cam cu aceeasi problema, daca numarul dat se rescrie drept
tg^6(a) + tg^6(ka)+tg^6(k^2a)
cu k si a corespunzatori, si ghiciti cine este oare tg^6(k^3a)...
Access general
Conţine mesaje necitite
