1) Implicatia intre propozitii simple(fara variabile, adica nu predicate) nu are vreun sens de cauzalitate in matematica si nu surprinde (foarte) mare lucru.
Mai interesanta si utila si folosita adesea este implicatia intre predicate. Practic orice teorema este o implicatie adevarata de predicate.
(*) Cand spui ca un predicat implica alt predicat : p(x)->q(x) asta inseamna ca , ori de cate ori se intampla ca p(x) sa fie adevarata ptr o anumita valoare a lui x , atunci automat, garantat, si q(x) este deasemenea adevarata pentru acea valoare a lui x. Adica putem spune ca q(x) este adevarata in conditia ca p(x) e adevarata. E un fel de "adevar conditionat".
Mai mult, si mai clar poate, ne putem referi la multimile de adevar ale predicatelor. Astfel, daca p(x)(care are multimea de adevar A) implica q(x) (care are multimea de adevar B), evident A este inclusa in B!
Astfel, desi la propozitii simple putem sa nu avem nicio legatura intre p si q si totusi p->q(conform acelui tabel), la predicate exista o legatura clara intre multimile lor de adevar, si anume cea de incluziune.
Asa se poate intelege mult mai usor logica, folosind teoria multimilor. De fapt totul in matematica se reduce la teoria multimilor!
Apoi, problema cu sagetile simple/duble nu e o problema reala. In principiu s-ar folosi sageata simpla pentru implicatia intre propozitii, si sageata dubla pentru cea intre predicate, asa se da in unele manuale.
O alta varianta ar fi sa folosim sageata simpla pentru implicatie ca si conector logic, iar sageata dubla doar pentru o implicatie care este adevarata, mai ales in cazul predicatelor! Ptr ca o implicatie poate fi si falsa.
Insa in matematica nu lucram de obicei decat cu implicatii adevarate sau cand sunt false precizam ca nu au loc(taiem) , deci nu ar fi o problema ce sageata folosim.
Semnul de congruenta se foloseste mai mult la formule propozitionale, in sensul ca ele mereu au aceeasi valoare de adevar indiferent cum sunt propozitiile componente.
La celelalte intrebari, nu, nu exista si nu ar trebui sa existe mai multe feluri de echivalenta in matematica.
Se poate scrie A=B INSEAMNA (x apartine A echivalent x apartine B).
Apoi:
-referitor la echivalenta, ea exact asa e bine sa fie definita, drept dubla implicatie. Si apoi sa observam ca de fapt propozitiile echivalente au aceeasi valoare de adevar
ri sunt impreuna adevarate, ori impreuna false. Daca una e adevarata si cealalta falsa, atunci nu ar mai avea loc una din cele doua implicatii, deoarece adevarul nu implica falsul!
MEtodic asa e cel mai bine deoarece cum procedam in mod obisnuit ca sa aratam o echivalenta? Exact in 2 etape: aratam dubla implicatie.
Nu prea am cum altfel sa arat simultan ca cele doua propozitii au mereu aceeasi valoare de adevar decat luandu-le pe rand, ceea ce e mai complicat.
Insa din nou ne sare in ajutor teoria multimilor:
p(x) <-> q(x) inseamna ca au aceeasi multime de adevar! Deci doua predicate echivalente "descriu" aceleasi obiecte/situatii matematice, doar ca in doua moduri diferite. Adica "obiectele matematice" descrise de p(x) sunt exact aceleasi cu cele descrise de q(x)!! Sau altfel spus, doua predicate echivalente "spun" acelasi lucru despre "obiectele matematice" la care se refera.
Referitor la "principiul contrapozitiei":
p->q este echivalent cu nonq->nonp, intr-adevar este un lucru foarte important
Ca sa ne convingem printr-un exemplu, sa luam urmatoarea implicatie "in limbaj obisnuit":
DACA ploua, ATUNCI strada este uda.( p->q )
Evident o implicatie adevarata, este un adevar asupra "lumii" in care traim, verificat ori de cate ori ploua afara, nu?
Sa incercam sa scriem "contrara reciprocei":
DACA strada NU este uda, atunci NU ploua.
Deasemenea adevarat, nu? Strada nefiind uda, nu are cum sa "mai" ploua, deoarece ploaia ar implica strada uda, ori ea nu e uda!
Deci daca directa e adevarata, si contrara reciprocei e adevarata.
Are loc bineinteles si in sens invers.
De fapt, daca ne gandim putin, daca facem "contrara reciprocei" chiar la contrara reciprocei, dam fix peste directa
) , deci chiar nu mai avem ce analiza/arata in plus !!!!!!
Deci ele sunt echivalente logic, practic ambele "spun acelasi lucru" despre legatura dintre faptul ca ploua sau nu ploua si faptul ca strada este sau nu este uda.
LA fel este si in matematica.
Spre exemplu, daca luam implicatia adevarata:
x>5 implica x>0
Contrara reciprocei ar fi:
x<=0 implica x<=5, evident adevarat.
Un caz important de folosire a acestei echivalente este la functiile injective, unde avem doua definitii, echivalente tocmai pe baza acestui principiu de logica.
Def1
x1 diferit x2 -> f(x1) diferit f(x2) (p->q)
Def2
f(x1)=f(x2) -> x1=x2 (nonq ->nonp)
Astfel, functia f verifica definitia 1 daca pentru orice x-uri diferite, "Se intampla intotdeauna" ca si imaginile lor sunt diferite. Asta imi delimiteaza o clasa de functii, ce verifica aceasta proprietate enuntata printr-o implicatie.
Definitia 2, la randul ei, delimiteaza o alta clasa de functii, ce verifica o alta proprietate, enuntata prin alta implicatie: ori de cate ori imaginile sunt egale, x-urile sunt si ele neaparat egale!
Ei bine, cele doua implicatii fiind echivalente, functiile care verifica definitia 1 sunt aceleasi cu functiile care verifica definitia 2, si anume ele au primit denumirea de clasa functiilor injective.
Cu alte cuvinte, aceeasi clasa de functii poate fi descrisa in doua moduri diferite! Vom observa apoi ca, in aplicatii, poate fi mai usor sa lucram cu una sau cu alta din "Descrieri"/definitii, in functie de caz.
Deci este bine de retinut ca echivalenta, in matematica:
-la nivel de propozitii inseamna ca cele doua propozitii au aceeasi valoare de adevar, adevarul uneia atrage adevarul celeilalte
-la nivel de predicate, inseamna ca cele doua predicate au aceeasi multime de adevar, ele descriu aceleasi obiecte matematice, insa o fac in moduri "putin" diferite.
Deci asa vad eu lucrurile. Daca este cineva care are observatii, este liber sa le faca.
Access general
Conţine mesaje necitite
