Desenam poligonul regulat
P17
cu 17 laturi inscris in cercul de raza R = 1.
Ducem toate diagonalele si obtinem nenumarate poligoane "stelate".
(In definitiv si poligonul regulat este intr-un anumit mod stelat, deoarece ducem o linie frânta intre vârfuri "la distanta ciclica unu, masurata prin numararea varfurilor lui P17).
Obtinem o figura ca aceasta:
https://en.wikipedia.org/wiki/File:16-simplex_t0.svg
si avem in jurul centrului cercului asa de multe coarde, incat aproape ca nu putem distinge cu ochiul liber (la vârsta mea) decât un cerc (inscris / tangent la cele 17 coarde cele mai apropiate de centru). Sa notam cu R1 raza lui.
In problema de fata ne intereseaza R1 si alte câteva "raze" pe care le distingem mai mult mai greu decât mai usor. Pentru a ne ajuta distingerea, sa consideram toate poligoanele stelate cu aceleasi vârfuri ca si P17.
Lista poligoanelor stelate este pe aceeasi pagina, n-are rost sa o ascund:
https://en.wikipedia.org/wiki/Heptadecagon#Related_polygons
In notatia de aici, poligoanele stelate sunt:
{17/1} - care este P17
{17/2}
{17/3}
{17/4}
{17/5}
{17/6}
{17/7}
{17/8}
Aceste poligoane stelate au fiecare un "cerc inscris" .
Foarte repede vedem ca raza corespunzatoare este
sin( 15 pi / 34 ) = R15
sin( 13 pi / 34 ) = R13
sin( 11 pi / 34 ) = R11
sin( 9 pi / 34 ) = R9
sin( 7 pi / 34 ) = R7
sin( 5 pi / 34 ) = R5
sin( 3 pi / 34 ) = R3
sin( 1 pi / 34 ) = R1
in notatie proprie, care ne va usura enuntul problemei.
Si acum in sfârsit problema:
Sa se calculeze (explicit) produsul celor opt raze
R1, R3, R5, R7, R9, R11, R13 si R15
Bonus:
(1) Sa se calculeze (explicit) produsul celor patru raze
R3, R5, R7, R11 .
(2) Sa se calculeze (explicit) produsul celor(lalte) patru raze
R1, R9, R13, R15 .
... si daca nu ajuge atât...
(3) Sa se calculeze (explicit) produsul celor doua raze
R1, R13 .
Nota:
Consider ca problema de fata interpoleaza suficient de bine intre geometrie (sintetica), algebra (si ecuatii), teoria numerelor si teoria corpurilor de numere (teorie Galois).
Am cautat ceva inedit.
(Adica cunoscut acum mai bine de doua sute de ani si uitat...)
Nota:
Problema pentru ciclul primar (fiindca este pacat ca nu avem grija de viitor, in conditiile in care nu mai lamentam / comentam despre prezent):
(Problema care trebuie poate tradusa, eu nu am astfel de veleitati, gândesc mult prea complicat. Dar acest "tip de problema" nu l-am mai vazut, asa ca scriu.)
Sa se "compare" {17/8} si {17/9} ...
Access general
Conţine mesaje necitite
