Ultimele doua cifre al puterilor lui 9 se repeta, desigur, ciclic.
Lungimea perioadei este egala cu ordinul lui 9 in grupul multiplicativ al elementelor inversabile din inelul ZZ modulo 100.
Functia indicator a lui Euler ne spune dupa câte iteratii se repeta in orice caz. (Desi se repeta poate deja pe drum.)

Avem:
euler_phi( 100 ) = 100 ( 1 - 1/2 )( 1 - 1/5 ) = 40.

Cu calculatorul (pentru cei ce nu vor toata viata cu mâna..)

sage: euler_phi( 100 )
40
sage: R = IntegerModRing( 100 )
sage: R(9).multiplicative_order()
10


Cu alte cuvinte, dupa 10 pasi ultimele doua cire ale puterilor lui 9 se repeta.
(Putem folosi binomul lui Newton pentru a vedea ca (10-1)^10 -1 se divide cu 100.)

Trebuie sa determinam x(2013) mod 100.
Deci trebuie sa determinam x(2012) mod 10. (Daca nu stim / calculam mai mult, mod 40...)
Ne uitam putin la situatie si vedem ca trebuie sa il determinam pe x(2011) modulo 2.
Acesta este un numar impar, o putere a lui 9,
deci x(2011) este 1 modulo 2.
Deci x(2012) este ca 9^1 modulo 10, deci 9.
Deci x(2013) este ca 9^9 modulo 100, deci ca inversul lui 9 modulo 100, care este -11 = 89 modulo 100.


Cu calculatorul:
sage: 1/R(9)
89

sage: R(9)^9
89
sage: R(9)^(9^9)
89
sage: R(9)^(9^(9^9))
^C---------------------------------------------------------------------------
KeyboardInterrupt
(... dureaza prea mult.)

Aici R(9) este ( 9 modulo 100 ).