516. Valoarea parametrului real a pentru care graficul functiei f: (0,infinit)->R,

, este tangent axei Ox este:

A. -1/e
B. e
C. 2e
D. -e
E. 1


517. Functiile f:R->R , g:R->R,

sunt tangente daca:

A.a= 1+e
B. a=0
C. a=1
D. a= e - pi
E.a= -1

526.
Se considera functia f:R->R

, m real.
Multimea M a tuturor valorilor lui m pentru care functia f admite puncte de extrem local este constituita din :
A. doua elemente
B. trei elemente
C. nici un element
D. M = R ( multimea numerelor reale)

[Citat] 516. Valoarea parametrului real a pentru care graficul functiei f: (0,infinit)-> R, , este tangent axei Ox este: A. -1/e B. e C. 2e D. -e E. 1

[Citat] 517. Functiile f:R->R , g:R->R, sunt tangente daca: A. a = 1+e B. a = 0 C. a = 1 D. a = e - pi E. a = -1

Ca si mai sus, presupunem ca pentru un anumit "a", parametru ales convenabil in f, exista un b, astfel incat

f_a( b ) = g( b ) si
f'_a( b ) = g'( b ) .

(Pentru a scrie derivatele, trebuie sa avem a > 0, cazul a = 0 se ia la mâna separat.)

Dam de un sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute, pe care il rezolvam.
Pentru cei ce au calculator...

sage: var( 'a,x,b' );
sage: f(x) = x + sqrt( x^2 + a );
sage: g(x) = x^2 + 1
sage: solve( [ diff(f,x)(b) == diff(g,x)(b) , f(b) == g(b) ], [a,b] )
[[a == 0, b == 1], [a == -7/32*I*sqrt(7) + 13/32, b == 1/4*I*sqrt(7) + 1/4], [a == 7/32*I*sqrt(7) + 13/32, b == -1/4*I*sqrt(7) + 1/4]]

Desigur ca ne limitam la ce e real...

Scriem functia in mod ceva mai normal

x ( x + m ) exp(-x)

si vedem ca este egala cu 0 in zero si -m .
Undeva intre aceste puncte se anuleaza prima derivata.
(Dar nici in zero, nici in -m).
Functia este strict negativa strict intre 0 si -m,
in aceste puncte se anuleaza,
in rest este strict pozitiva.

Din motive "evidente" exista un minim absolut intre -m si 0 .

Tema:
Care este graficul functiei pentru m = 3/2 ?
Dar pentru m = -3/2 ?

Multumesc gauss, foarte frumoase explicatiile.

http://prntscr.com/7rg8im