505.
Inegalitatea :

are loc pentru orice x real daca si numai daca :
A. a = 6
B. a > 0
C. a > 4
D. a = e
E. a = pi


506.
Daca ecuatia

cu a>1 are o singura solutie reala atunci:
A.

B.

C.

D.

E.

507.
Multimea valorilor pozitive ale lui a pentru care ecuatia

are doua solutii reale este :

A.

B.

C.

D.

E.

505. Daca ne uitam la functia

, gasim un punct in care se anuleaza, indiferent de valoarea lui

? Pentru ca functia sa fie mereu pozitiva, ce valoare trebuie sa aiba prima derivata intr-un asemenea punct?

Din cele scrise mai sus gasim o conditie necasara. In situatia unui examen, daca analizam variantele de raspuns se observa ca trebuie sa existe cel putin o solutie, deci conditia este si suficienta. (Se poate si demonstra)

506. La fel, ne uitam la functia

. Se vede ca scade pana intr-un punct si apoi creste. Putem afla punctul calculand radacina primei derivate. Pentru ca functia sa aiba o singura radacina reala, ce valoare trebuie sa aiba in acel punct?

507. Procedura e similara, analizam functia

. Ce valoare are la

? Dar in

? La

? Aceleasi rezultate se obtin indiferent de valoarea lui a. Care este raspunsul atunci?

505. Se anuleaza in 0 , am impus ca f'(0)=0 , de unde a = 6.
506.
f(radacina derivatei) =0. am aflat a= e^(1/e)


Multumesc Razzvy.
La 507, puteti sa explicati mai mult?

Analizam cazul

La

, functia este pozitiva. In punctul 0, functia este negativa (-1). La

, functia este pozitiva. Valoarea lui a nu are nicio influenta asupra rezultatelor de mai sus. Deci oricare ar fi a>1, ecuatia

are exact doua radacini.

Ce se intampla in celelalte cazuri?

Pentru a <1 , am luat a=1/e iar graficul intersecteaza axa Ox intr-un singur punct.

Raspuns A.
multumesc frumos

Pentru a=1, evident, exista doar o solutie.
Pentru ( 0 < )a<1,

scade, iar

creste, deci exista maxim un punct de intersectie (in cazul de fata exact un punct).

LA 507 merge si sirul lui Rolle.

[Citat] LA 507 merge si sirul lui Rolle.

Cum?

In mare parte este ceea ce a zis Razvi, dar nu am nevoie de valoarea din 0, ci de punctul in care se anuleaza derivata. Apoi limitele la +- infinit pentru a><1 si conditia ca f(pctul de anulare-unul singur ,fctie injectiva dderivata)> valoarea fctiei in pctul de anulare (depinde si de limitele de mai sus).

Nu prea am timp acum insa o sa revin, am admiterea sapt. viitoare si sunt cam presat.