Da, chiar in mod necesar si suficient.
(Este bine sa mentionam mereu asa ceva daca (si numai daca) are loc implicatia dubla.)

Deci pentru ce valori ale lui m avem prima (sau ultima inegalitate) pentru orice t>0 ? De exemplu, care din valorile urmatoare sunt bune si care nu?

m = -2
m = -1
m = -1/2
m = 0
m = 1/2
m = 1
m = 2 ...

Avem ca t+m-1>0 sau altfel scris t>1-m. De exemplu pentru m=-2 , avem ca t>3 ,dar aleg t=2 inegalitatea devine falsa .

In alta ordine de idei obtin 0>1-m , adica m>1.
Astept cu interes interventia dvs.

Limita LA + infinit este + infinit
Daca inecuatia este adevarata pentru orice x Il luam pe x=0 , rezulta m>0.
IAR pentru valori apropiate de - infinit m>=1.Aici am folosit si faptul ca m>0.(Am mai folosit si trecerea la limita in inegalitati, unde inecuatia devine >=).
Pentru m>=1 functia este continua, strict crescatoare si >0.
Deci eu cred ca raspunsul este m>=1.

O alta abordare ar fi cu sirul lui Rolle.
Pentru m>0, neaparat, vezi ca functia sa nu aiba o schimbare de semn.
Si nu o sa aiba deoarece functia este strict crescatoare cu derivata pozitiva pt m>0 .
Dar Rolle imi spune doar ca functia nu are radacini reale.
Daca derivata este pozitiva fctia este strict crescatoare si cum limita la + infinit este + infinit atunci f<+infinit (evident).
Cum f este continua si crescatoare va rezulta ca f>=limita la -infinit, care este m-1.
Din toate acestea rezulta in final ca m-1>=0.