Salut.Poate pentru unii o sa para o problema usoara dar nu ma prea pricep la geometrie asa ca

Fie ABCD un paralelogram.Stind ca vectorii AB + AD si AB - AD au acelasi modul,sa se arate ca ABCD este dreptunghic.

Si inca o intrebare ..cum credeti ca o sa fie bac-ul de anul acesta ca dificultate ?

Multumesc!

[Citat] Fie ABCD un paralelogram. Stiind ca vectorii AB + AD si AB - AD au acelasi modul, sa se arate ca ABCD este dreptunghic.

Colorarea in violet nu este asa de importanta (in acest caz), doar cand vin formule specific matematice mai lungi sau mai multe, atunci tiparirea lor in LaTeX (in conditii grafice mai bune) ajuta mult la comunicare.
Caz in care colorarea este oferita pentru distinctie imediata.

Aici lucrurile stau cam asa.
Sa notam cu O centrul paralelogramului.
Din cele date stim ca
OC = -OA si
OD = -OB
si ca urmatorii doi vectori
AB + AD = OB - OA + OD - OA = -2 OA si
AB - AD = OB - OA - OD + OA = 2 OB
au acelasi modul.

Deci OA si OB sunt doi vectori de aceeasi lungime.
Deci paralelogramul are diagonalele de aceeasi lungime.
Deci este dreptunghi. Daca chiar trebuie sa aratam vectorial acest lucru, sa aratam atunci ca unghiul dintre AB si BC este drept.
Calculam atunci produsul scalar

AB . BC
= ( OB - OA ) . ( OC - OB )
= ( OB - OA ) . ( -OA - OB )
= - ( OB - OA ) . ( OB + OA )
= ...
si desfacem (distributiv) parantezele, dam de OA.OA - OB.OB , deci de diferenta lungimilor ... la patrat.