787. Fie f : (0, + oo) --> R, f(x) = x + 1 + lnx si fie g inversa functiei f.
Solutia ecuatiei f(x) = g(x) este:
A)e B)2/e C)e/2 D)1/e E)1

Daca x satisface f(x) = g(x) atunci satisface si ecuatia functionala obtinuta aplicând f "pe ea", deci

f(f(x)) = x .

De aici putem verifica usor.
In orice caz luând la mâna cel târziu acum valorile oferite vedem ca

f( 1/e )
= 1/e + 1 + ln(1/e)
= 1/e + 1 -1
= 1/e .

Neputem razgândi in modul de prezentare al solutiei afirmând acum ca din cele de mai sus rezulta si

g( 1/e ) = 1/e .

(Si avem o solutie mai directa.)

Nota:
Problema (sau cel târziu cel ce rezolva) trebuie sa asigure cumva bijectivitatea lui f si existenta unei solutii unice. Asa ceva nu se intampla cu de la sine putere, daca ne uitam la functia h de la IR la IR data de h(x) = x + sin(x) ...

[Citat] Daca x satisface f(x) = g(x) atunci satisface si ecuatia functionala obtinuta aplicând f "pe ea", deci f(f(x)) = x .

Iar dacă f e strict crescătoare (cazul nostru), atunci această din urmă ecuaţie este echivalentă cu f(x)=x, de unde 1+lnx=0, deci x=1/e.