Fie matricea

1 3 1
1 1 -2
1 2 -1



Sa se arate ca oricare ar fi n natural nenul,

Solutie alternativa.
(Mai la nivel de liceu, daca ignoram terminologia.)
(Solutia de mai sus este mai buna, daca acceptam mai mult.)

Matricea A data (banuiesc ca A o cheama...) are polinomul caracteristic (cu semn schimbat)

f(x) = det( A-xI ) = x^3 - x^2 - x - 1

si avem f(1) = -2 si f(2) = 1 .
Deci f are o radacina reala "a" strict mai mare ca 1.
Deoarece

A^n - a^n I = (A-aI)( ... )

are determinantul nul, ca produs al determinantilor det(A-aI) si ...
rezulta ca A^n nu poate fi matricea unitate I decat pentru n=0, care nu convine.

De ce, in demonstratia de mai sus, stiind ca A^n -a^n I, unde a>1, are determinantul nul putem afirma ca A^n nu poate fi matricea unitate pentru n>0?

[Citat] De ce, in demonstratia de mai sus, stiind ca A^n -a^n I, unde a>1, are determinantul nul putem afirma ca A^n nu poate fi matricea unitate pentru n>0?

Daca A^n = I,
atunci

A^n - a^n I = ( 1-a^n ) I ,

matricea identitate inmultita cu factorul nenul 1-a^n .
La mine acel "a" este radacina reala din intervalul (1,2) a polinomului caracteristic al lui A.

Am inteles. Multumesc.

Si eu multumesc pentru intrebare.
Am postat, pentru ca acest argument este mai târziu util, este parte din rezultatul urmator:

Fie A o matrice (sau un operator...) care are spectrul S, multimea valorilor proprii ale lui A. Fie f o functie polinomiala (sau analitica sau continua ...) definita pe (un deschis ce contine) S . Atunci matricea (sau operatorul...)

f(A)

(calcul functional aplicat pe A, daca f este polinom putem defini asa ceva la nivel de liceu, de exemplu f este ridicarea la n)
are spectrul f(S), imaginea prin f a multimii S .