Demonstrati ca subinelele de tip Z[a]={x+ay |x,y intregi}, a complex irational, ale corpului numerelor complexe, cu proprietatea |a|=1 sunt Z[i] si Z[

].

Problema similara, poate usor mai grea, data la ONM 1997.

[Citat] Demonstrati ca subinelele corpului numerelor complexe de tip Z[a] = { x+ay | x,y intregi}, a complex irational, cu proprietatea |a| = 1, sunt generate de o radacina primitiva de ordinul trei sau patru.

Fie a un numar complex irational de modul unu.
Presupunem ca ZZ[ a ] este inel.

Atunci -a.a este de asemenea in inel.
Deci de forma

-aa = s + ta

cu s, t numere intregi.
Deci a este radacina unui polinom de grad doi cu coeficienti intregi:

Z² + sZ + t .

Desigur ca si conjugata lui a, notata aici a' mai departe, este radacina a aceluiasi polinom.
(Aplicam conjugarea complexa pe egalitatea a² + sa + t = 0 .)

Numerele reale de modul unu sunt rationale.
Dar a este irational, deci a este nereal, deci a si a' sunt doua numere diferite. Deci ele sunt cele doua radacini ale polinomului de mai sus.

Vieta ne spune ca t este produsul lor, deci
|t|² = | a a' | = |a| |a'| = 1.1 = 1 .

Deci t poate sa fie fie 1, fie -1 .
Daca t este -1, discriminantul ecuatiei de gradul al doilea

Z² + sZ + t = 0

este pozitiv, avem solutii reale, dar cum am vazut mai sus nici una nu este de modul unu si irationala. Excludem.

Deci t = 1.
Cautam s-ul.
De asa natura incat discriminatul sa fie negativ, stim deja de ce.

Vrem deci s² - 4 < 0 .
S este deci zero sau plus/minus unu.
Ramane sa vedem ce fel de a-uri obtinem in cele doua cazuri, sunt exact cele din enunt, solutii ale ecuatiilor

Z² + 1 = 0 , dam de inelul intregilor lui Gauss, ZZ[ i ], terminologie etablata

respectiv

Z² + Z + 1 = 0 si / sau Z² - Z + 1 = 0 , caz in care dam de acelasi inel (care poate fi generat in doua moduri...) , inelul intregilor lui Euler (l-as numi eu...) .

[Citat]

Problema de mai sus este falsa.
Contraexemplu: a = -i .
Alt contraexemplu: a = i - 34292873452038745 .

Desigur ca ZZ[ -i ] = ZZ[ i ] are exact patru elemente inversabile,
1, -1, i, -i,
pentru a avea un enunt bun trebuie sa insistam asupra egalitatii
ZZ[ a ] = ZZ[ i ]
si sa o cerem asa.

Demonstratia la nivel de liceu nu ma / ne intereseaza, de fapt.
Probabil ca este de forma...

Fie A = ZZ[ a ] un inel ca in enunt.
Fie U(A) grupul unitatilor lui A.
Atunci 1 si -1 sunt in U(A).
Fie u un *alt* element din U(A).
Desigur ca 1, -1, u, -u sunt diferite, deci cele patru unitati.

Deoarece u² = uu se afla in lista de mai sus, luam cazurile la rand.
uu = 1 se exclude, deoarece atunci 0 = uu - 1 = (u+1)(u-1) si deci u este plus / minus unu.
uu = +u se exclude la fel de usor.
uu = -u se exclude la fel de usor.

Rezulta uu = -1 .
Deci u este fie i, fie -i.
Dupa ce schimbam eventual u cu -u putem presupune fara a restrânge generalitatea ca avem

u = i .

Rezulta ca avem o relatie
i = s + ta , s si t fiind numere intregi. (Unic determinate, deoarece a nu este rational.)

(Vrem sa aratam ca t este +1 sau -1.)
Deci a = ( i - s ) / t este in A.
Scriem ce ecuatie de gradul doi satisface a, considerând si a', conjugatul lui a, a' = ( -i - s ) / t .

Deci inmultim
( Z-a )( Z-a' )
pentru a da de un polinom de forma

Z² - 2s/t Z + (s²+1)/t²

care are radacina a. Rezulta ca acest polinom are coeficientii din ZZ,
deci t divide 2s.

Daca cumva t divide s, dar t nu este plus sau minus unu,
atunci ne uitam la a = ( i - s ) / t in A, adunam s/t din ZZ, deci din A,
atunci i/t este in A,
care mai este in orice caz o unitate, inversul fiind t/i = -it , in contradictie cu cele date.

Deci t nu divide s. Deci t il divide pe 2.
Ne uitam atunci la celalalt numar care stim ca este intreg,
(s²+1)/t² .

Deoarece 4 nu divide numarul (s²+1) niciodata, rezulta ca t este plus sau minus unu.

Atunci putem sa il scoatem pe a din i si pe i din a folosind combinatii liniare cu coeficienti intregi, deci ZZ[ a ] si ZZ[ i ] coincid.



EDIT: Mai sus a fost de la inceput "ZZ de i", dar acel "de i" s-a compilat si a facut scrisul italic... Am inserat spatii inainte si dupa i...

Ceea ce trebuie sa ne intereseze este structura grupului unitatilor in inele de numere (adica inele obtinute adjunctionând lui ZZ câteva numere întregi-algebrici, adica numere care sunt radacini de polinoame monice cu coeficienti intregi).
Iata un link:

http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_unit_theorem

Multumesc mult!

Da, stiam ca enuntul e putin incorect, dar m-am gandit ca se intelege ca dorim sa aratam ca inelul cautat este ZZ(i).

Am o mica observatie care scurteaza cateva randuri din demonstratia dvs la ultima problema.
A este inel => multimea U(A) inzestrata cu inmultirea de pe A este grup. Atunci U(A) este subgrup de ordin 4 al lui CC, deci este grupul radacinilor de ordin 4 ale unitatii.