Fie OAB un triunghi echilateral, unde O(0,0), A(m,n) cu m,n?N si B(x,y) cu
x,y ? (0, +?). Demonstrati ca B nu poate avea ambele coordonate numere naturale.

La ce nivel se cere rezolvarea? Se pot folosi numere complexe?

Da, este problema data la concursul Mate-Info UBB.

[Citat] Fie OAB un triunghi echilateral, unde O(0,0), A(m,n) cu m,n?N si B(x,y) cu x,y ? (0, +?). Demonstra?i ca B nu poate avea ambele coordonate numere naturale.

Dac? vârfurile unui triunghi echilateral au coordonatele numere întregi, atunci p?tratul lungimii laturii este num?r natural (se calculeaz? cu formula distan?ei dintre dou? puncte).

Atunci aria sa este

.

Pe de alt? parte, aria triunghiului se poate ob?ine ca diferen?a dintre aria unui dreptunghi (cu vârfurile de coordonate întregi) ?i suma ariilor a trei triunghiuri dreptunghice ce au catetele de lungimi ce se exprim? prin numere naturale (se poate realiza u?or un desen). Deci în acest al doilea caz, aria este un num?r ra?ional, ceea ce contrazice

. Deci nu exist? un triunghi echilateral cu vârfurile de coordonate întregi.

Va multumesc!

Sau, algebric, a?a: http://forum.matematic.ro/viewtopic.php?t=34590

sau asa: Calculam aria cu ajutorul determinantului care va fi numar rational.Pe de alta parte aria nu este numar rational. (vezi mai sus!)

[Citat] sau asa: Calculam aria cu ajutorul determinantului care va fi numar rational.Pe de alta parte aria nu este numar rational. (vezi mai sus!)

Sau calcul?m aria cu teorema lui Pick!
http://goo.gl/F6ZjYe

Buna seara
Lucrari inrudite pentru estimarea suprafetelor:
"The measurement of the surfaces for the pulmonary teritories by mean of the simulation method" author Adrian Stanculescu Engineer PhD lucrare la cel de-al 12-lea Colocviu European de Statistica 3-7 Septembrie 1979 Bulgaria sau:
"Some considerations about the measurement of the surfaces by mean of the Monte Carlo method" author Adrian Stanculescu Engineer PhD lucrare la Colocviu de Inferenta Statistica Nonparametrica Budapesta 23-28 Iunie 1980 Ungaria s.a.