Buna ziua!
Exista o matrice 12×12 formata doar cu -1,0,1 al carei determinant sa fie 2001?

Care este sursa problemei?
In ce cadru a aparut?

Este din cartea domnului Mirsanu-Matematica pentru olimpiade clasa a 11 a.
Cadrul: ma preg?tesc pentru olimpiada

[Citat] Este din cartea domnului Mirsanu-Matematica pentru olimpiade clasa a 11 a. Cadrul: ma preg?tesc pentru olimpiada

Probabil ca in cartea respectiva este pe undeva un pas premergator care studiaza matrici (forma de plural din Ardeal, cer scuze,) de un anumit tip, facând rost de o formula pentru determinantul lor, formula care se specializeaza...

Solutia pe care o dau aici este urmatoarea, constructie explicita:

Solutia ar fi atunci de forma

M O
O N

care corespunde spargerii lui 12 x 12 drept (5+7) x (5+7) .

(Constructia se bazeaza pe ceea ce stiu eu din teoria grafurilor, teorema lui Harary, formula fiind de exemplu aici,
http://mathoverflow.net/questions/134956/determinants-in-graph-theory
pe programare si ghicit.)

Si acum aveti sansa sa ne scrieti ce din cartea respectiva se poate folosi, pentru ca asa, venita din aer problema nu este "cinstita". (In traducere in engleza, "not fair" - in orice caz nu in conditii de concurs.)

Trimit pentru ca trebuie sa merg la lucru.
Mai revin.

Sper ca sunt clare acum
- necesitatea darii de informatii cat se poate de multe
- precizarea cadrului...
(Se usureaza mult din munca cautarii solutiei.)

Pai, spune ca pentru a construi o astfel de matrice consideram sistemul:

x1-x2=0
x1+x2-x3=0
x1+x2+x3-x4=0
..............
x1+x2+...+x11-x12=0
a0x2+a1x3+a2x4+...a9x11+a10x12=1

Unde ak cu k de la 0 la 10 sunt coeficientii de la reprezentarea lui 2001 in baza 2.

Nu în?eleg de unde vine aceasta solu?ie.

[Citat] Pai, spune ca pentru a construi o astfel de matrice consideram sistemul: x1-x2=0 x1+x2-x3=0 x1+x2+x3-x4=0 .............. x1+x2+...+x11-x12=0 a0x2+a1x3+a2x4+...a9x11+a10x12=1 Unde ak cu k de la 0 la 10 sunt coeficientii de la reprezentarea lui 2001 in baza 2. Nu în?eleg de unde vine aceasta solu?ie.

Pai oare de unde vine?

V-ati uitat cât de cât la matricea sistemului?
Va dati seama cum plasati problemele pe site?
(Fara latex, fara comentarii, fara incercari... Din partea mea nici o problema, dar daca telul este olimpiada, astfel nu puteti face progrese.)

Ma refer ideea de unde a venit? Si cu coeficientii in baza 2

Noi ne referim continuu la lucruri diferite.
Eu incerc sa va spun de mai multe ori ca pentru a cauta o solutie e bine sa avem ceva in mâna, cu precizarea ca nu mi s-a dat nimic in mâna, dar primesc ca raspuns "Bine, eu stiu ca asta am in mâna (dar eu nu), si ce fac cu acest lucru?"
Fenomenul se numeste autism, nu este o boala, dar nici nu ajuta la olimpiade.
(Inca o data un sfat enorm, a invata si a cauta si a avea succes pe acest drum depinde *enorm* de intelegerea valorii informatiei pe care o avem din cadrul natural si din ceea ce stim.)

Ca sa mai scurtam din drum, care este solutia sistemului inghesuit urmator?
(4 ecuatii, 4 necunoscute.)

[Citat] x1-x2=0 x1+x2-x3=0 x1+x2+x3-x4=0 ax2+bx3+cx4=1 unde a,b,c inghesuiti sunt numere reale.

Eu am facut urmatoarele lucruri supraomenesti si greu de inteles:
(Nu las loc liber intre linii ca sa corespunda stilului inghesuit.)
Din prima ecuatie rezulta x2 = x1 .
Din a doua ecuatie rezulta x3 = x2+x2 = 2x2 = 2x1 (inghesuit numai la capat, ca sa se vada diferenta, rog a se scoate spatiile de pe drum, daca numai asa se poate intelege, eu scriu cum inteleg eu).
Din a treia ecuatie rezulta x4 = x3+x2+x1 = x3+x3 = 2x3 = 4x1 .
Iar a patra ecuatie devine (a+2b+4c) x1 = 1 .
Dam de x1 cumva, in orice caz numitorul este a+2b+4c.
Si daca avem sistemul 12x12 de mai sus, unde 12x12 nu este de 12 ori necunoscuta x12, ci pur si simplu "12 ori 12", care o fi x1...?
Si acum solutia Cramer ne spune ca avem o solutie asemanatoare, cea in care il scriem pe x1 drept (determinantul matricii obtinute din matricea sistemului inlocuind coloana lui x1 cu coloana libera)/(determinantul matricii stistemului), ramane sa vedem care sunt cele doua matrici, le scriu inghesuite,
1-100
11-10
111-1
0abc pentru matricea sistemului, respectiv
0-100
01-10
011-1
1000 si ultima matrice inghesuita are determinanul (dezvoltare dupa prima coloana) egal minus cu cel al minorului
-100
1-10
11-1 care este deja in forma diagonala, dam de (-1)³, care este -1, deci la un loc de 1. Rezulta ca determinantul pentru
1-100
11-10
111-1
0abc este numitorul din 1/(a+2b+4c) si cam asa si pentru sistemul cu 2001. Si acum ne uitam inca o data ce vrea problema propusa chiar la inceput de drum de la noi. Ne-a cerut o matrice de determinant 2001 in care apar doar coeficientii -1, 0 si 1. Deci e bine sa luam a,b,c,... de asa natura incat (sa fie intre 0,1,-1 si) sa avem a+2b+4c+...=2001, dupa care intrebarea "dar de ce trebuie sa descompunem in baza doi?!" se autodizolva. Dar daca incepem cu intrebarea asta, este clar ca ceva nu facem bine in procesul de cautare. In primul rand nu ni s-a cerut asa ceva, ci ni s-a spus sa facem asa ceva, este un ajutor, de obicei nu ne intrebam "de ce vrea omul asta sa ma ajute?" decât daca avem prea multi bani, dar, caz in care oricum nu avem nevoie de ajutor sa ne scapam de ei, se realizeaza de la sine.

Mul?umesc mult pentru rezolvare, sfaturi, explicatii!