Aratati ca pentru orice matrice A cu 4 linii si 2 coloane si elemente reale matricea produs A ori A transpus are cel mult 10 elemente strict negative.
Mul?umesc!

Notam "liniile" cu s, t, u, v si privim aceste obiecte ca si când ar fi vectori in plan. Atunci matricea

A . A'

are elementele produse scalare de câte doi vectori.
Pe diagonala dam de s.s, t.t, u.u si v.v .

Cazul in care (macar) unul din acesti vectori este nul se ia la mâna separat.
Mai departe presupun ca cei vectori sunt nenuli.
Deci matricea simetrica 4x4 de care ne legam are pe diagonala intrari (strict) pozitive, le notez cu + (plus) si atunci am terminat problema daca mai aratam ca cel putin o alta intrare (si deci si cea simetrica ei fata de diagonala lui A A') nu se anuleaza.

In caz contrar avem ceva de forma:

+ - - -
- + - -
- - + -
- - - +

si ne intrebam daca se poate asa ceva.
Ne uitam la s.
Produsele scalare s.t si s.u si s.v sunt toate nenule si negative.
Cum stau atunci vectorii t, u, v fata de s in planul lor... ?

Pai din cauza cosinusului care este negativ, intre u,t,v si s va fi un unghi intre pi pe 2 si 3pi pe 2. ?

Da, deci t, u, v se afla in acelasi semiplan (strict, deschis, fara dreapta care il margineste.).

Si acum facem acelasi lucru uitându-ne la t si la cum pot sa stea u si v...

Daca il luam pe t oriunde in acel semiplan, conditia ca cos (t, u)<0 si cos (t, v)<0 le va aduce pe u si v din nou in acelasi semiplan cu s, ceea ce este fals in virtutea presupunerii initiale. De aici rezulta ca macar un element de pe prima linie in afara de primul este pozitiv, deci si simetricul sau.

Mul?umesc frumos!