Cum se demonstreaza ca daca doua polinoame,( sa zicem, pentru simplitate, de doua variabile) sunt egale peste tot, cu exceptia unei multimi algebrice, atunci ele sunt egale peste tot pe R^2?
Multime algebrica-exact cum se defineste in geometria algebrica, adica multimea "punctelor" din R^n care "anuleaza" un set dat , finit, de polinoame.
De mentionat ca nu stapanesc foarte multe din geometria alegbrica, doar am citit putin.
Am deasemenea o demonstratie care arata ca, daca un polinom de doua variabile e nul pe o "bila deschisa" din R^2, atunci e nul pe R^2.
De aici mi-ar trebui cumva sa justific ca, daca A este o multime algebrica din R^2, atunci R^2-A este deschisa, insa aici am niste mici probleme.
Multumesc.

Lasati va rog spatii libere dupa punct, dupa virgula si când citirea poate fi vizibil usurata.

[Citat] Cum se demonstreaza ca daca doua polinoame,( sa zicem, pentru simplitate, de doua variabile) sunt egale peste tot, cu exceptia unei multimi algebrice, atunci ele sunt egale peste tot pe R^2?

O multime algebrica poate sa fie si tot acel IR^2.
Daca nu, este un fel de "varietate"
(cu sau fara singularitati)
(chiar algebrica, deci in particular analitica, deci in particular regulata - clasa C infinit, deci in particular varetate diferentiabila de clasa C^k pentru k finit...)
de codimensiune cel putin unu, complementul este dens, deci un argument de continuitate clarifica problema.

[Citat] Multime algebrica-exact cum se defineste in geometria algebrica, adica multimea "punctelor" din R^n care "anuleaza" un set dat , finit, de polinoame. De mentionat ca nu stapanesc foarte multe din geometria alegbrica, doar am citit putin. Am deasemenea o demonstratie care arata ca, daca un polinom de doua variabile e nul pe o "bila deschisa" din R^2, atunci e nul pe R^2. De aici mi-ar trebui cumva sa justific ca, daca A este o multime algebrica din R^2, atunci R^2-A este deschisa, insa aici am niste mici probleme. Multumesc.

Cum am spus, daca A nu este tot IR^2-ul, este o varietate (algebrica, data local prin scufundare in IR^2 prin ecuatii algebrice - una singura de fapt) de codimensiune unu. Acesta este cle mai simplu loc de apucat.

A se vedea poate si Hilbert Nullstellensatz si rezultatele din jur pentru un cadru propriu geometriei algebrice. Care se desfasoara de obicei (când luam "puncte") cu puncte dintr-un corp algebric închis, corpul numerelor complexe e de preferat lui IR...