Daca f continua pe R cu valori in R si f compus cu f=f, atunci f este identitatea?

De exemplu o functie constanta, f(x) = 2015 pentru orice x real, ...

In afara de cele constante...Ma scuzati, am uitat sa precizez ca imaginea functiei este un interval nedegenerat.

Atunci sa luam functia f de la IR la IR care este

f(x) = 0 pentru x in ( -oo, 0 ]
f(x) = x pentru x in [ 0, 1 ]
f(x) = 1 pentru x in [ 1, +oo )

si pentru care imaginea lui f aterizeaza in intervalul [ 0, 1 ] pe care f(x) = x ...

Eu incercam sa inteleg rezolvarea problemei 2 de la onm 2014 care cere sa se determine functiile derivabile pe R cu valori in R cu proprietatea ca f compus cu f=f.

[Citat] Eu incercam sa inteleg rezolvarea problemei 2 de la onm 2014 care cere sa se determine functiile derivabile pe R cu valori in R cu proprietatea ca f compus cu f=f.

?? Pai si de ce ati modificat enuntul cerand continua in loc de derivabila?
Ce sens ar fi avut ca autorul problemei sa puna "Derivabile" daca ar fi mers doar cu ipoteza mai slaba "continue"?? E chestie de logica elementara.
Si spuneti-ne va rugam de ce sunteti interesat de un nivel atat de ridicat-probleme de nationala. PArticipati la aceasta faza? Daca nu, nu credeti ca trebuie sa o luati intai cu probleme mai simple?

Da, particip la aceasta faza.
Am pus problema in acea varianta deoarece, la un moment dat, in barem, presupune ca imaginea functiei nu este un interval negenerat si noteaza inf si sup cu a si b. Si spune ca conform ipotezei, restrictia lui f la (a, b) este identitatea. Si m-am gândit ca aceasta deductie este legata de continuitatea functiei, nevazand legatura cu derivabilitatea.

Eu nu postez probleme pe acest forum doar pentru a primi rezolvarea, asa aveam baremul. Vreau sa inteleg.

PS:Va mul?umesc ca imi subestimati "logica elementara"

Nu ma poate ajuta /imi poate sugera cineva de unde se ob?ine ca restric?ia lui f la (a, b) este identitatea?

Din faptul ca f este continua, se poate obtine ca Im f este [a, b], iar acest lucru sa ajute la demonstrarea faptului ca restric?ia lui f la (a, b) este identitatea?

Deci ce anume nu e clar din barem?

Functia fiind continua, are imaginea un interval, sa zicem de capete a si b, deci Imf include sigur intervalul deschis (a,b). (Ar mai putea contine si pe a sau pe b, nu stim inca). Doar o functie continua pe un compact are ca imagine tot un compact(T Weierstrass), ptr functie definita pe R, imaginea poate fi orice fel de interval!

Conditia din enunt inseamna

f(f(x))=f(x), oricare x real.

Notand f(x) cu un y avem f(y)=y, ptr orice y care e o valoare de-a functiei , deci orice y din Imf, deci cel putin pentru orice y din (a,b).
Bineinteles, renotand pe y cu x obtinem f(x)=x, orice x din (a,b)

Dar din continuitate rezulta imediat ca f(a)=a.(tecere la limita cu x->a,x>a in relatia anterioara)

Presupunand ca a-ul ar fi finit, noi stim pe de o parte ca
a<=f(x), adica f(a)<=f(x), oricare x, deci a ar fi un punct de minim, de unde din Fermat f'(a)=0.

Dar f'(a) nu poate fi zero, ci da unu (ca in barem, definitia derivatei-folosesc derivata la dreapta deoarece "cunoastem" deocamdata formula functiei pentru x intre a si b)). Contradictie, deci a=-infinit.
LA fel b=infinit, deci f este identitatea pe R.

Unde anume nu e clar? Mie imi place rezolvarea, si mi se pare interesanta problema.
Nu stiu daca mi-ar fi venit in minte in timp de concurs sa gasesc aceasta rezolvare, dar solutia din barem pare naturala. MAi clara si mai eleganta de atat, nu vad alta solutie.
Banuiesc ca la faza cu y-ul a fost ceva neclar, sper ca s-a inteles acum.
Mult succes la olimpiada!

Mul?umesc frumos!