Se considera polinomul :x^4+ ^a . X + ^b, in care f apartine clasei de resturi modulo 5 (sau f apartine Z5).
a) Verificati relatia t^4 modulo 5=1 modulo 5.
Aici a fost usor am luat t modulo 5=1,2,3,4 modulo 5. 0 modulo 5 in acea relatie nu da 1.
b)Cate polinoame de forma anterioara exista?
a,b apartine clasei de resturi modulo 5 => ele iau cate 5 valori, deci avem 5^2=25 polinoame.
c)Demonstrati ca pentru b modulo 5 = 1 modulo 5, polinomul f este reductibil, oricare ar fi a modulo 5 apartine lui Z5.
Partea asta e cam grea pentru ca nu stiu cum sa descompun.
Pentru a modulo 5 = 0 modulo 5 => f= x^4 + 1 modulo 5. f=0. De aici am adunat ecuatia cu 4 modulo 5 => x^4=4 modulo 5. de aici mi-a iesit ca x este 2 si 3 modulo 5. de aici (x^2+3 modulo 5)(x^2 + 2 modulo 5).
Acum vine partea naspa cand a=1 modulo 5. => avem ecuatia x^4 + x + 1 modulo 5=0. De aici nu mai stiu ce sa fac. Am incercat schema Horner dand valori de la 0 la 4 dar degeaba nu merge sa descompun ecuatia. Asa si la celelalte a-uri ramase. Va rog ma puteti ajuta? Multumesc. Va rog explicit.

Nivelul problemelor este ceva mai sus decat cele necesare tiparirii in latex.
Si chiar daca nu ar fi asa, ajuta MUUULT daca tipariti in latex, macar cioturi.

In plus:
LASATI LOCURI LIBERE *DUPA* fiecare cuvant, semn de punctuatie, paranteza inchisa, etc. - asa cum vedeti ca se tipareste la ziar.

[Citat] Se considera polinomul :x^4+ ^a . X + ^b, in care f apartine clasei de resturi modulo 5 (sau f apartine Z5). a) Verificati relatia t^4 modulo 5=1 modulo 5. Aici a fost usor am luat t modulo 5=1,2,3,4 modulo 5. 0 modulo 5 in acea relatie nu da 1. b)__LOC__LIBER__Cate polinoame de forma anterioara exista? a,b apartine clasei de resturi modulo 5 => ele iau cate 5 valori, deci avem 5^2=25 polinoame. c)__LOC__LIBER__Demonstrati ca pentru b modulo 5 = 1 modulo 5, polinomul f este reductibil, oricare ar fi a modulo 5 apartine lui Z5. Partea asta e cam grea pentru ca nu stiu cum sa descompun. Pentru a modulo 5 = 0 modulo 5 => f= x^4 + 1 modulo 5. f=0. De aici am adunat ecuatia cu 4 modulo 5 => x^4=4 modulo 5. de aici mi-a iesit ca x este 2 si 3 modulo 5. de aici (x^2+3 modulo 5)(x^2 + 2 modulo 5). Acum vine partea naspa cand a=1 modulo 5. => avem ecuatia x^4 + x + 1 modulo 5=0. De aici nu mai stiu ce sa fac. Am incercat schema Horner dand valori de la 0 la 4 dar degeaba nu merge sa descompun ecuatia. Asa si la celelalte a-uri ramase. Va rog ma puteti ajuta? Multumesc. Va rog explicit.

Daca enuntul de la (a) este fals, noi ce sa facem?
(b) este prada usoara, nu ne mai incarcati cititul.

La (c) descompun eu cu calculatorul, cod sage, usor de inteles, daca nu insa il comentam si discutam fara probleme:


dan@eta:~$ sage

| Sage Version 5.8, Release Date: 2013-03-15 |
| Type "notebook()" for the browser-based notebook interface. |
| Type "help()" for help. |

sage: F = GF(5)
sage: F
Finite Field of size 5
sage: F.list()
[0, 1, 2, 3, 4]

sage: for t in F: print "%s^4 = %s in F" % ( t, t^4 )
0^4 = 0 in F
1^4 = 1 in F
2^4 = 1 in F
3^4 = 1 in F
4^4 = 1 in F

sage: R.<x> = PolynomialRing(F)

sage: for a in F: print "%s = %s" % ( R(x^4 + a*x + 1), factor( R(x^4 + a*x + 1) ) )
x^4 + 1 = (x^2 + 2) * (x^2 + 3)
x^4 + x + 1 = (x + 2) * (x^3 + 3*x^2 + 4*x + 3)
x^4 + 2*x + 1 = (x + 1) * (x^3 + 4*x^2 + x + 1)
x^4 + 3*x + 1 = (x + 4) * (x^3 + x^2 + x + 4)
x^4 + 4*x + 1 = (x + 3) * (x^3 + 2*x^2 + 4*x + 2)
sage:

Deci pentru valorile nenule ale lui a, avem radacina 2/a, lucru usor de verificat cu schema lui Horner o data la un loc pentru cele patru cazuri.

Cazul cu a = 0 vine scriind 1 = -2^2 (modulo 5) si folosind formula binomiala.

Invatati, va rog, latex, va va ajuta mult (independent de faptul ca ne intelegem aici mai bine, latex este tipografie, pentru cei ce scriu mult - matematica, fizica, chimie, bridge, poezie, romane, sah, ... latex-ul este exact ceea ce trebuie. Cand veti trimite o cerere de incadrare scrisa in latex, va veti distinge fata de cei ce o scriu in *ord.)

Salut! La punctul a scrisesem gresit in loc de ''nu da'' trebuia sa fie ''ne da'', oricum nu era nimik fals. Am zis acolo ca numerele corecte sunt 1,2,3,4. La punctul c) te-ai folosit de un calculator sa acele ultimele ecuatii. E corect ca asa imi aratea si in barem, dar ecuatiile acelea x^4 + x + 1 sau x^4 + 2x + 1 sau x^4 + 3x + 1 sau x^4 + 3x + 1 tot nu le inteleg. Cum de te-a dat radacina 2/a. la schema horner ma gandeam sa le fac acele ecuatii, dar nu stiam ce numar sa iau ca sa ajung la acele ecuatii, la ce valori am luat imi dadeau cu rest. Se poate sa imi explici te rog?

[Citat] Salut! La punctul a scrisesem gresit in loc de ''nu da'' trebuia sa fie ''ne da'', oricum nu era nimik fals. Am zis acolo ca numerele corecte sunt 1,2,3,4. La punctul c) te-ai folosit de un calculator sa acele ultimele ecuatii. E corect ca asa imi aratea si in barem, dar ecuatiile acelea x^4 + x + 1 sau x^4 + 2x + 1 sau x^4 + 3x + 1 sau x^4 + 3x + 1 tot nu le inteleg. Cum de te-a dat radacina 2/a. la schema horner ma gandeam sa le fac acele ecuatii, dar nu stiam ce numar sa iau ca sa ajung la acele ecuatii, la ce valori am luat imi dadeau cu rest. Se poate sa imi explici te rog?

Sa scriem in limba româna pe cât se poate...
"Nimik" pur si simplu ma enerveaza, acesta nu este un chat, in plus chiar daca ar fi, nu este un chat pe care mistocarii exerseaza modul de a comunica repede prin prescurtari si superficialitati. Dialogul (sau ce-o fi)

"- Sal! -Sal! -Naspa c s aude... - Da, k bine zici -Sal! -Sal! -Ceau! -C s aude de fapt? -Nu stii? -Tz - Rau..."
nu apare destul de des pe aici...

Nu conteaza cum mi-a dat, ci ca mi-a dat.

Pur si simplu calculam pentru fiecare a nenul valoarea polinomului

P(X) = X^4 + aX + 1

in punctul / in radacina -2/a pentru a da de

P(-2/a)
= (-2/a)^4 +a(-2/a) + 1
= 16/a^4 - 2 + 1
= 1/a^4 - 1
= 1/1 - 1
= 0 .

Deoarece -2/a este radacina,
teorema lui Bezout sau ceva ce se face la scoala in loc peste orice corp sau formula X^k - b^k = (X-b)(...) pentru k natural si b element dintr-un inel oarecare,
ne arata ca avem factorul ( X - (-2/a) )
si am terminat.