Se considera functia f:R->R, f(x)=1/[(x+1)(x+2)(x+3)], x> sau egal cu 0 si f(x)=(e^x)/(3) + a, x<0.
a)Determina?i valoarea parametrului a pentru care func?ia f admite primitive.
La acest punct am facut limitele la stanga si la dreapta si f(0). De aici a=-1/6.
b)Determina?i o primitiv? a restric?iei func?iei f la intervalul [0,infinit].
1/[(x+1)(x+2)(x+3)]= m/(x+1) + n/(x+2) + p/(x+3)
Am adus la acelasi numitor: m(x+2)(x+3)+n(x+1)(x+3)+p(x+1)(x+2)=1
De aici am dat x=-1 =>m=1/2. Pentru x=-2 => n=-1. Pentru x=-3, p=1/2. Si mi-a iesit ca F(x)=[ln(x+1)]/2 - ln(x+2) + [ln(x+3)]/2. Aceste puncte nu au fost grele, dar ultima imi da batai de cap.
c)Demonstrati ca integrala de la 0 la 4 din f(x)dx sa fie mai mic sau egal cu 2/3.
Chiar nu stiu cum sa il fac, am incercat sa ma iau de punctul b dar mi-au iesit radicali pe acolo. Ce am vazut este ca din aceasta ipoteza pentru x apartine [0,4] (x+1)(x+2)(x+3) este mai mare sau egal cu 6. Va rog frumos ma puteti ajuta? Va multumesc

Ni se cere o majorare.
Atunci ne luam un calculator din vremea de azi si cerem valoarea numerica a integralei, pentru a vedea cat de stransa este inegalitatea. Vedem ca putem sa minoram / majoram "lejer".

De aceea, prima incercare ar fi de a inlocui brutal in

(x+1)(x+2)(x+3)

- toti factorii cu (x+1)
- toti factorii cu (x+3)
- (x+1)(x+3) cu (x+2)(x+2)

sau cam asa... La "inlocuire" trebuie sa avem grija de sensul in care avem inegalitatea. Motivul "inlocuirii" este de a da de integrale din functii pentru care ne scapam de logaritmi...

Ce putem face aici?

Hmm, nu prea am inteles nimic din ce ai spus.. Se poate te rog sa imi explici mai clar? Multumesc

Am incercat sa dau doar o indicatie, dar de multe ori, a da o indicatie este mai greu decat a rezolva complet.

Nota: Este foarte mult de citit si inteles din postarea initiala, problema este - daca am inteles bine dupa ce am citit tot - daca integrala incadrata este sub 2/3 ...

Nota: Pe partea cealalta putem aproxima cu integrala de la 0 la 4 din 1/(x+2)^3 ... De aceea am tiparit "mai mult decat o indicatie".

Singurul lucru care nu l-am inteles de la tine gauss este cum de te-a dat de la (x+1)(x+2)(x+3)=(x+3)^3. Daca se poate sa ma lamuresti. Acest exercitiu este luat din acel concurs haimovici de matematica. Acolo nu ai calculator ca sa te ajuti putin. Iti multumesc frumos ca ma ajuti.

[Citat] Singurul lucru care nu l-am inteles de la tine gauss este cum de te-a dat de la (x+1)(x+2)(x+3) = (x+3)^3. Daca se poate sa ma lamuresti. Acest exercitiu este luat din acel concurs haimovici de matematica. Acolo nu ai calculator ca sa te ajuti putin. Iti multumesc frumos ca ma ajuti.

Am lasat spatii in jurul egalului...
Ca sa se vada mai bine.

Ei bine, eu *NU* am scris "egal" in cele de mai sus, ci am scris *MAI MIC SA EGAL* - lucru posibil, deoarece functiile de sub integrale satisfac punctual "aceasi inegalitate" .

Concursul Haimovici nu se desfasoara cu calculatoare, dar cei ce invata matematica in acest secol si se pregatesc pentru concurs au un atu enorm daca dau drumul la calculatoare. Motivul principal pentru a da drumul la calculator nu este cel de a rezolva o problema anume de la un concurs anume, ci incercarea de fiecare data - pusi fiind in fata unei probleme - sa ii gasim "pamântarea", ceva clar si simplu, un punct de sprijin care sa ne ajute macar sa incadram si sa interpretam rezultatul. Problemele de Olimpiada se indeparteaza de "numar", deoarece in conditii de Olimpiada nu calculul, ci gândirea departajeaza concurentii. Dar modul in care inteleg concurentii obiectele cu care se tot gândesc trece prin intelegerea "de baza" a lor. Astfel, o integrala definita este in primul rând un numar pe care il calculam ca o limita, prin aproximari succesive, nu un obiect matematic pe care il calculam folosind o tabela de schimbari de variabila si reducere la integrale standard. Mai ales daca nu ni se cere numarul, integrala definita de la 0 la 4 din functia... ci o majorare a ei.

Ne putem gândi si asa:

Functia strict descrescatoare f(x) = 1/ ( (x+1)(x+2)(x+3) ) ia valori

- pentru x intre 0 si 1 in intervalul [ f(0), f(1) ] = [ 1/6, 1/12 ] , deci integrala ei pe acest interval este intre 1/6 si 1/12 .

- pe celelalte intervale avem chiar incadrari mai bune, tema de casa.

- ca sa vedem de unde "vine" acel 2/3 din problema, merita sa mentionez aici ca problema se rezolva cu o inegalitate / cu o incadrare si mai simpla, anume, din

0 < f(x) < f(0) pentru orice x > 0
rezulta ca
integrala lui f pe [0,4] este intre
integrala lui 0 pe [0,4] si
integrala lui f(0) pe [0,4] .

(Iar ultima integrala...)